1-  En la figura vemos un cono en planta y alzado y una de sus generatrices se ha utilizado para generar nuevos conos, en el giro de los mismos podemos observar la nueva figura compuesta por 6 conos.

2- En la figura podemos observar a la izquierda tres toros centrados que se intersectan, a la derecha en la parte inferior podemos ver dos toros que se cortan según esas formas que parecen dos bóvedas esquifadas unidas pero con la curvatura de los toros 

3- Podemos observar en el borde superior izquierdo  un tetraedro truncado que es un poliedro arquimediano consistente en un tetraedro regular al que se le han cortado las esquinas de manera que se le han quitado otros tetraedros de menor tamaño.

Podemos ver su relación con el cubo y la inscripción en el mismo además de una perspectiva axonométrica.

 4-Podemos observar en este dibujo el tetraedro truncado en proyección planta, alzado y perfil así como distintas perspectivas y proyecciones auxiliares 

5- Si tomamos tres prismas rectos de sección cuadrada y los distribuimos en la dirección de los ejes tal y como se ven centrados en la figura obtenemos en la intersección un poliedro de catalán llamado rombododecaedro.

6-   En el caso de la figura tenemos distintas proyecciones del rombododecaedro según las distintas disposiciones de los tres prismas entrelazados. el rombododecaedro es un poliedro formado por rombos, como en todos los poliedros de catalán todas sus caras son idénticas y si tomamos el punto medio de cada cara siempre podremos obtener el poliedro dual arquimediano correspondiente, cuboctaedro en este caso, por lo que hay tantos poliedros de catalán como poliedros arquimedianos

7- Volvemos a ver según nuevas proyecciones la interferencia de los tres prismas que provoca el rombododecaedro en sistema diédrico. Lo mismo sucede en la  siguiente imagen

8- Rombododecaedro en sistema diédrico como intersección de 3 prismas

9- En la figura podemos ver un rombicosidodecaedro que es el poliedro que se viene utilizando ahora como estructura para el balón de fútbol y que ha sustituido al antiguo icosaedro truncado.

Podemos ver que se construye a partir del dodecaedro regular que es un poliedro regular de 12 caras que son polígonos pentagonales regulares.

 Si achaflanamos aristas y en las esquinas quitamos las pirámides correspondientes obtendremos este poliedro formado por pentágonos cuadrados y triángulos equiláteros.

10-  En esta nueva figura podemos observar la proyección en planta y alzado del rombicosidodecaedro, como está formado a partir del truncamiento del dodecaedro regular. y éste tiene las proyecciones en planta y alzado iguales si se gira una de ellas 90 grados, tenemos entonces que pasa lo mismo con el rombicosidodecaedro 

Vídeo explicativo del ejercicio:

https://www.youtube.com/watch?v=KegY4u88-ew

11-  En la figura podemos observar 3 pentágonos regulares que se extruyen provocando prismas pentagonales regulares en las direcciones de los ejes cartesianos, podemos observar también la intersección de los prismas 2 a 2 y por último la intersección de 3 prismas provocando ese poliedro irregular  bastante asimétrico.

12- En la figura podemos observar a la izquierda el dodecaedro e icosaedro regular, a la derecha  observamos un poliedro superpuesto sobre el otro, ambos centrados configuran el poliedro compuesto que es exactamente el poliedro dodecaedro regular con pirámide de base pentagonal regular sobre sus caras perfectamente centradas tal y como vemos en el borde superior derecho.

 En el borde inferior observamos la diferencia del icosaedro y dodecaedro con el hueco interno que genera mientras que la interferencia de ambos provoca el icosidodecaedro, eso quiere decir que por truncamiento de tipo 1 podemos observar que tanto si cortamos el dodecaedro como el icosaedro por la mitad de sus aristas, que es lo que se llama de tipo 1, obtenemos el icosidodecaedro que es el poliedro arquimediano formado por pentágonos y triángulos equiláteros. Cada pentágono regular está rodeado de 5 triángulos equiláteros.

 A la derecha podemos observar la diferencia del dodecaedro e icosaedro que nos deja ver las pequeñas pirámides y el hueco interior. 

13- En el borde izquierdo superior podemos observar un icosaedro regular y a su izda. en menor tamaño y a color el icosidodecaedro.  Tenemos a la parte izquierda el dodecaedro, icosaedro e icosidodecaedro en estructura de rejilla. Mientras que volvemos a tener en la parte central otra vez los mismos poliedros y el compuesto a partir del dodecaedro icosaedro.  En la parte derecha inferior volvemos a ver el icosidodecaedro centrado y a dos colores y a su derecha el dodecaedro dentro del icosaedro

14- En las tres vistas del centro podemos observar el gran icosaedro que es un poliedro de Kepler-Poisont. Aparecen nuevas vistas auxiliares con las direcciones y sentidos de las flechas y obtenidas mediante un giro a 90 grados, asimismo a la derecha obtenemos la figura  en dos colores otra vez la misma figura en axonometrías isométricas y lo mismo en la parte inferior y a varios colores.

15- En color violeta podemos ver distintas vistas del gran dodecaedro estrellado, sus vértices son en realidad los vértices de un dodecaedro regular, figura que aparece a la derecha en color dorado con las vistas en planta, alzado y perfil, al igual que el gran icosaedro estrellado. Se muestran al mismo tiempo distintas vistas auxiliares en la dirección de las flechas  en ambas figuras.

16- En el Gran icosaedro que podemos ver a la izquierda en varios colores observamos que cada color representa un plano de la figura, de esta manera podemos ver cómo se intercalan unos planos con otros.  A la derecha vemos la figura en un solo tono con distintos sombreados.  

Si tomamos los vértices de esta figura podemos comprobar que forman triángulos en una disposición de estructura en icosaedro regular. Mientras que podemos observar en el centro de la figura varios pentágonos dónde se apoyan las pirámides cóncavas estrelladas, y estos pentágonos son en realidad figuras de un dodecaedro regular.

 

17- Podemos observar la figura anterior en nuevas proyecciones en color verde de manera que el contorno  que definen los vértices es un hexágono regular

 

18- Podemos observar en el borde inferior izquierdo tres pirámides que se cortan según la dirección de ejes ortogonales provocando en su intersección la figura irregular que se puede observar en sistema diédrico en el borde superior derecho.

 

19-Podemos observar el pequeño dodecaedro estrellado en tres proyecciones diédricas a la derecha, podemos también observar dos vistas más siguiendo la dirección de las flechas, son nuevas vistas auxiliares también en sistema diédrico. La proyección del borde inferior izquierdo se viene utilizando también en sistema axonométrico isométrico ya que también es una proyección ortogonal y cilíndrica como el sistema diédrico y provoca una vista igual bajo cierta dirección.

20- En la figura de la derecha podemos ver las tres vistas en diédrico del dodecaedro regular con nuevas vistas auxiliares, esas mismas vistas sirven para construir el pequeño dodecaedro estrellado que aparece a la izquierda en color rosa, en la misma figura podemos observar la estructura pentagonal que sostiene las pirámides, sabemos además que los vértices de esas pirámides determinan un icosaedro regular, figura dual del dodecaedro regular.

 

21- En esta imagen podemos ver el dodecaedro regular en color oro en el borde superior derecho con sus tres vistas en diédrico y tres proyecciones nuevas auxiliares, la misma disposición tenemos para el pequeño dodecaedro regular en color rosa que aparece en el borde superior izquierdo.

 En la parte inferior aparece el icosaedro regular en color azul con las mismas proyecciones en diédrico y auxiliares.

 Podemos observar que las tres figuras están relacionadas entre sí, la estructura pentagonal del dodecaedro se puede observar en el Poliedro estrellado, los pentágonos son los que sostienen a las pirámides cuyos vértices superiores son en realidad los de un icosaedro regular.  Recíprocamente podríamos coger las caras del icosaedro y sostener en las mismas distintas pirámides de manera que sus vértices superiores conformarán un dodecaedro regular, obtendremos así el gran dodecaedro estrellado que aparece en color violeta unas imágenes anteriores 

 22- Podemos observar el pequeño dodecaedro estrellado con sus proyecciones en planta, alzado y perfil y vistas auxiliares en la dirección de las flechas que son en realidad dirección de las aristas de la figura.

  23- Podemos ver como 2  prismas de sección cuadrada  se cortan de manera que las aristas coinciden sobre la cara superior de los prismas en ambos casos dispuestos a 120 grados en proyección en planta, obtenemos en la intersección de los mismos el octaedro regular.

 

24- Si cogemos y giramos un cubo dejando un registro de 7 cubos y la intersección de los mismos obtendremos el deltoedro que se ve a la derecha en planta y alzado. Esta figura está formada por la intersección de esos 7 cubos generados a partir del giro de 1 de ellos y en ángulos iguales.

 En la parte izquierda podemos observar los 7 cubos sin que todavía se haya aplicado la intersección.

25- Podemos ver el mismo caso que el anterior pero aplicado a 5 cubos al girar un cubo sobre su diagonal principal obtenemos esas proyecciones de los cubos que aparecen en su totalidad en el borde superior izquierdo mientras que en la parte central superior de la figura aparece ya el deltoedro en sus vistas como intersección de los cubos.  Podemos verlo más de cerca a la derecha y en la parte inferior observamos lo mismo pero los figuras están dispuestas mediante un giro para que se vean en una proyección más intuitiva y fácil de entender.

 26- Podemos observar otra vez el mismo ejercicio pero una ampliación de la imagen central de la figura con todos los cubos girados y sus intersecciones nos delimitan ahí la posición exacta de toda esa configuración que en su intersección define un deltoedro

 

27- En la figura podemos observar la intersección de dos cubos, en el borde superior izquierdo podemos ver la planta, alzado y perfil del cubo rojo, cuyas proyecciones son cuadrados mientras que el cubo verde es tal que  los contornos de las aristas inciden en los vértices, a su derecha podemos observar la intersección de ambos cubos que provoca realmente una bipirámide. Una bipirámide es una figura formada por dos pirámides unidas por la base, si tomamos los centros de las caras de una dipirámide y los unimos obtendremos un prisma recto, mientras que si hacemos lo mismo con el  deltoedro qué es la figura anterior, obtendremos el antiprisma, figura que está formada por triángulos laterales y polígonos en sus bases pero girados cierto grado uno respecto al otro.

 Curiosamente al girar siempre un cubo sobre otro teniendo el eje de giro como la diagonal principal a veces obtenemos dipirámides y otras veces obtenemos  deltoedros como se verá en numerosos dibujos de este blog

28- En esta figura podemos observar la composición de dos cubos, en este caso el eje de giro  es una línea que pasa por la mitad de sus aristas y a la que se ha aplicado un giro de 90 grados. Como podemos observar la figura que sale es una pirámide que se ha separado de manera que se intercala un prisma recto en el medio, esto es, una figura formada por dos pirámides y un prisma

 

29- En la figura podemos observar en color rojo un icosaedro regular qué es un poliedro que tiene 20 caras triangulares equiláteras,  cómo podemos observar la planta y alzado y perfil son tres vistas iguales tras girar 90 grados cada una respecto a la anterior, mientras que la primera proyección obispo auxiliar en la dirección a nos facilita una vista cuyo contorno es un hexágono regular y la proyección de esta vista en la dirección B tras otro giro de 90° obtenemos otra nueva vista cuyo contorno genera un decágono regular.

 

30- Tenemos en color plateado otra vez la misma figura nuevas vistas auxiliares siguiendo la dirección de las flechas coincidente con la dirección de las aristas en proyecciones anteriores

31- Si tomamos el poliedro de la figura anterior y lo cortamos a un tercio de sus aristas obtenemos en cada una de las caras triangulares un hexágono y entre 5 triángulos equiláteros el corte define un pentágono, esta estructura poliédrica llamado icosaedro truncado es el que se ha utilizado hasta hace poco para los balones de fútbol ya que es bastante esférica, pero no tanto como el rombicosidodecaedro que es el que se viene utilizando en este momento.

32- En la figura podemos observar a la derecha el icosaedro en color rojo con las tres vistas en planta alzado y perfil y las dos vistas auxiliares en las direcciones A B, de igual forma podemos observar el icosaedro truncado en color violeta con las mismas proyecciones de la figura anterior

 33- En esta figura podemos observar el icosaedro regular con distintas proyecciones, como ya sabemos cada proyección se obtiene del anterior mediante la traslación de la figura y un giro a 90 grados sexagesimales. Algunas vistas se utilizan más comúnmente en proyecciones axonométricas como la que aparece en el borde inferior derecho a color ya que representa una perspectiva de la figura y es más fácil de entender que las proyecciones en planta, alzado y perfil, sin embargo también puede ser una proyección en cualquiera de estas con la condición de que una de sus caras sea paralelas al plano de proyección que cojamos, por ejemplo la figura a color tiene el triángulo equilátero de la base en verdadera forma, eso quiere decir que podría ser una proyección en planta de la figura.

 Hay que recordar que tanto el sistema diédrico  como el sistema axonométrico son proyecciones cilíndricas ortogonales con lo cual proyectan las figuras exactamente igual salvo que en axonométrico se suele disponer la figura conforme a la posición de unos ejes

 34- En la figura podemos observar en color plateado las distintas vistas de un icosaedro regular; si tomamos las tres proyecciones de la planta, alzado y perfil observamos un hexágono irregular. Tomamos ese hexágono irregular y construimos un prisma recto a partir de él, considerando entonces ese prisma triplicado en las tres direcciones de los ejes cartesianos ortogonales obtenemos la figura compuesta por los prismas rojo, verde y azul, podemos comprobar que la intersección de estos prismas es un dodecaedro irregular al que le podemos cortar pirámides en las esquinas obteniendo el icosaedro regular.

Realmente de las formas planas  del contorno del icosaedro en planta alzado y perfil  parece que la intuición nos dice que provocaría en la interferencia de los prismas un icosaedro pero podemos observar que realmente sale un dodecaedro, recíprocamente como veremos en una figura posterior sería lógico pensar entonces que al hacer lo mismo con el dodecaedro nos va a salir el icosaedro también irregular pero no es el caso, tenemos que realmente sale el dodecaedro a partir de los prismas de sección correspondiente a las vistas del dodecaedro.

 

35-En la figura podemos observar un icosaedro truncado o balón de fútbol antiguo tal y como vimos también en proyecciones anteriores. podemos observar a la derecha las tres vistas en planta, alzado y perfil y de la planta en la dirección a obtenemos la nueva vista del icosaedro truncado y esa nueva vista en la dirección B girada 90 grados obtenemos ya la última proyección de la figura. 

36- Podemos observar a la derecha un icosaedro en las tres vistas planta, alzado y perfil en color azul, como podemos observar para obtener una vista a partir de la otra basta con hacer un giro de la figura a 90 grados y observamos que sale la misma figura, si pensamos en el plano realmente en vez de hacer los 90 grados en el espacio habría que hacer el giro de 90 grados hacia la derecha o hacia la izquierda al tiempo que la desplazamos.

 Si cogemos la misma figura tal y como vemos a la izquierda y empezamos a unir los vértices como aparecen en la imagen tendremos siempre pentagramas tridimensionales con huecos de manera que aparece un nuevo poliedro de Kepler-Poinsot que es un poliedro  cóncavo bastante curioso. Podemos observar que es exactamente igual que el icosaedro pero en cada una de sus caras tiene pirámides cóncavas hacia la parte interna de la figura.

37- En la figura podemos observar en la parte inferior izquierda el icosidodecaedro que es la intersección del dodecaedro con el icosaedro o también la obtención de la figura a partir del truncamiento tipo 1 - por mitad de las aristas- de cualquiera de los dos poliedros duales, el dodecaedro y el icosaedro.

 Podemos observar que a partir del mismo se pueden obtener también otros poliedros estrellados tal y como aparece a la derecha dentro de la rejilla en color azul o también como el que tenemos a la izquierda pudiendo ver la disposición de los pentágonos con los huecos entre pentágonos.

 A partir de cualquier poliedro siempre podemos construir poliedros estrellados al unir sus vértices y dejando huecos interiores

38- En la imagen podemos observar una esfera atravesada por dos cilindros de manera que deja su rastro según vemos en el perfil 2 circunferencias tangentes entre sí y al contorno de la esfera 

Podemos observar también en la planta y alzado cómo se generan dos curvas en forma de infinito adecuadas a la esfera en una apariencia de lemniscata de Bernoulli

39-  En la parte superior izquierda observamos dos cilindros elípticos cuyos ejes centrales son ortogonales entre sí, como podemos ver en planta y alzado tenemos la elipse directriz de cada uno de los cilindros  mientras que en el perfil observamos que la intersección de ambos cilindros provoca de contorno un cuadrado ya que ambos tienen el mismo grosor y las generatrices que lo definen son líneas horizontales y verticales respectivamente y del mismo tamaño.

 En el borde inferior derecho observamos la intersección de 2 cilindros idénticos al caso anterior más la intersección con un cilindro circular recto en otro eje ortogonal a los dos anteriores y siguiendo la dirección de los ejes cartesianos. La intersección de las tres superficies cilíndricas genera una figura formada por fragmentos de los tres cilindros y sus intersecciones, que quedan definidas por dos formas de X en planta y alzado dentro de cada elipse y lo mismo para la circunferencia del perfil. Es como tres bóvedas de arista en las tres direcciones de los ejes. 

40- En el dibujo observamos un dodecaedro regular que es un poliedro regular que tiene 12 caras pentagonales regulares, las tres vistas de la derecha corresponden a la planta, alzado y perfil mientras que la proyección obtenida según la dirección del vector A nos provoca una nueva vista del dodecaedro, asimismo a partir de esa vista y en la dirección del vector B obtenemos otra nueva proyección del dodecaedro cuyo contorno es un decágono regular. Como sabemos para obtener cada uno de las proyecciones en sistema diédrico basta con desplazar la misma vista de la figura y girarla 90 grados sexagesimales, de esta manera obtenemos la nueva proyección.

41-En las tres vistas en sistema diédrico de la derecha aparecen en color las proyecciones de un dodecaedro regular, observamos que una de las caras se ha extruido provocando un prisma pentagonal regular que atraviesa la figura generando un hueco del que podemos ver en planta la proyección de sus aristas en líneas discontinuas. Esa misma figura es utilizada luego en nuevas proyecciones y vistas auxiliares según aparece en la zona izquierda. 

42- En la figura podemos observar a la izquierda el contorno de un icosaedro regular en las tres vistas en diédrico, al extruir esas tres formas idénticas obtenemos prismas de los que hacemos intersecciones dos a dos, considerando las direcciones de dos ejes ortogonales, de esta manera obtenemos como intersección las tres figuras que aparecen en el centro de la figura.

Cuando cogemos los tres prismas según las tres direcciones ortogonales y practicamos la intersección de los mismos obtenemos un dodecaedro irregular tal y como vemos en la parte inferior de la imagen.

 En la parte derecha de la imagen vemos las proyecciones del icosaedro regular en color azul, el dodecaedro regular en color dorado y en la parte inferior derecha vistas y proyecciones auxiliares del icosaedro regular en color plateado. 

43-  En la imagen podemos observar en color rojo un dodecaedro truncado, se obtiene al cortar las esquinas del dodecaedro y como nos queda una figura formada por polígonos regulares, esto es, decágonos y triángulos equiláteros, tenemos un nuevo poliedro arquimediano. Los poliedros arquimedianos los podemos obtener por truncamiento de los poliedros regulares, como en este caso.

 Tanto en color gris como en color verde podemos observar las proyecciones en planta, alzado y perfil y 2 vistas auxiliares del dodecaedro truncado.

 

44- En la figura podemos observar cómo al coger los tres contornos de la planta, alzado y perfil del dodecaedro regular obtenemos al extruir esas formas planas, tres prismas de sección pentagonal regular, son los tres prismas que aparecen en color rojo, verde y azul. Podemos observar a la derecha cómo al hacer la Intersección de cada par de prismas obtenemos los tres casos distintos de la derecha mientras que en el centro de la figura aparecen los tres prismas agrupados en la intersección de sus tres ejes concurrentes provocando como intersección la figura del dodecaedro regular.

Curiosamente cuando hacíamos lo mismo con los contornos del icosaedro regular, en vez de salir otro icosaedro salía también un dodecaedro pero irregular, había que practicar varios cortes para convertirlo en icosaedro regular, según vimos en un ejercicio anterior (fig. 34). 

45- En el centro de la figura podemos observar las tres proyecciones en sistema diédrico del Dodecaedro regular. Podemos observar a su izquierda tres proyecciones auxiliares mientras que a la derecha de la figura aparecen las tres proyecciones en diédrico del gran dodecaedro y una proyección axonométrica en el borde inferior derecho de la misma figura.

Como podemos observar el gran dodecaedro es un poliedro con cavidades piramidales definidas por la unión de vértices del dodecaedro de manera alterna.

46- En la figura superior izquierda podemos observar en color magenta las proyecciones y perspectiva axonométrica de un prisma recto de sección cuadrada, inmediatamente debajo vemos un eje principal que atraviesa la figura de vértice a vértice opuesto, al girar la figura a través de este eje y dejando registro de 6 prismas, tal y como aparece en el centro de la figura en color rosa y verde, obtenemos como intersección una bipirámide que no es más que dos pirámides unidas por la base y cuyas proyecciones aparecen en la parte inferior de la imagen en estructura de rejilla a la izquierda y en color rojo en la parte inferior central. Inmediatamente debajo aparecen los 6 prismas entrelazados y en distintos colores.

Al practicar el mismo ejercicio pero en vez de utilizar 6 prismas utilizando solo tres obtenemos la figura que aparece a la derecha con los tres prismas azul verde y rojo, como podemos observar la intersección está formada por una figura distinta a la obtenida en el caso anterior, ésta está formada por caras triangulares de manera que los vértices laterales de la figura alternan a distintas alturas, no como en el caso de la bipirámide anterior.

47- En la figura del centro podemos observar un cubo al que se le ha cortado una esquina de manera que el plano de corte pasa por los puntos medios de cada una de las aristas, en este caso decimos que es un corte de tipo 1, cuando hacemos lo mismo en todas las esquinas del cubo obtenemos un poliedro arquimediano llamado cuboctaedro del que tenemos distintas proyecciones en diédrico en color verde y en color magenta, se muestran además otras proyecciones en color verde a la derecha y en la parte inferior izquierda de la imagen, en color violeta y amarillo y azul, en estos últimos dos casos son proyecciones axonométricas isométricas en las que el cubo original que inscribiría a la figura muestra sus caras en igual forma, esto es, el contorno del cubo sería un hexágono regular.

48- En la figura podemos ver dos conos que se cortan de manera que sus ejes de revolución son coplanarios, vemos que el cono verde penetra al rojo practicando una vía de entrada y otra de salida, es lo que se llama penetración.  La penetración es tangencial cuando ambas curvas coinciden en dos puntos. 

Para calcular la intersección de los puntos de contacto  trazamos planos que pasen por los 2 vértices y que corten a las bases de las figuras, estos planos cortan a ambas figuras según generatrices que se cortan en puntos que definen las curvas de intersección. 

49- En la imagen vemos a la derecha en su parte superior al dodecaedro regular con distintas vistas y proyecciones auxiliares, a su izquierda vemos la figura que obtenemos al prolongar las aristas del dodecaedro, es un pequeño dodecaedro estrellado,  como vemos se obtiene al añadir pirámides a las caras pentagonales de manera que las aristas laterales de esas pirámides son la prolongación de las aristas adyacentes del dodecaedro.

 En la parte inferior derecha de la figura observamos un icosaedro regular en color azul con distintas proyecciones y vistas auxiliares, si prolongamos sus aristas obtendremos  pirámides sobre sus caras y una figura que aparece en el borde inferior izquierdo llamada gran dodecaedro.  La figura rosa y verde son dos poliedros estrellados obtenidos a partir del icosaedro y dodecaedro regular 

50- En el borde inferior izquierdo de la figura observamos un cubo en color rojo cuya diagonal principal es vertical y por tanto deja en planta al cubo con una proyección cuyo contorno es un hexágono regular. Si giramos el cubo en torno a ese eje de manera que hacemos el giro dejando registro de 4 cubos obtenemos la figura unión de esos cuatro cubos que aparece en el centro inferior de la  imagen. Al practicar la intersección de esos cuatro cubos obtenemos la dipirámide que se ve en el borde inferior derecho de la imagen, en los tres casos se pueden ver las tres proyecciones en sistema diédrico de las tres figuras distintas, el cubo a la izquierda, la unión de los cuatro cubos en el centro y la intersección de los 4 cubos en la parte inferior derecha. 

En la parte superior derecha vemos más de cerca los cuatro cubos con sus respectivas intersecciones mientras que en el centro superior de la figura aparece un cubo en planta y alzado en color amarillo y azul en el se marca la posición del eje de giro, un eje de giro que coincide con la diagonal principal del cubo y que es el que sirve para generar la figura de unión e intersección de los 4 cubos tal y como los vimos en el borde inferior central y derecho de la figura.

En la parte superior izquierda de la figura aparecen otra vez los cuatro cubos unidos pero de manera que el eje de giro coincide con la figura del cubo en amarillo y azul por eso aparece en posición oblicua, es realmente la misma figura del borde inferior central pero en posición oblicua.

51-En la figura observamos  3 prismas hexagonales entrelazados con ejes coincidentes con los tres ejes cartesianos, en la parte inferior izquierda en verde y azul aparecen los dos prismas que provocan en su intersección dos pirámides unidas por un prisma, en la parte inferior derecha los dos prismas rojo y verde provocan una figura formada por varios polígonos irregulares,  en la parte superior derecha la intersección del prisma rojo y azul provoca la unión de dos pirámides unidas por la misma base y truncadas,  en la parte superior izquierda la intersección de los 3 prismas provoca la intersección de las tres figuras anteriores, podemos ver ya con más detalle las tres figuras que se obtienen en la parte inferior de la imagen y la intersección que provocan a la derecha.

 52- Semejante al ejercicio anterior pero con prismas de sección triangular equilátera  podemos ver los tres casos, a la izquierda en el borde inferior la intersección provoca una pirámide, a la derecha en el borde inferior y según la colocación de los prismas observamos un poliedro formado por triángulos, en el borde superior derecho la intersección del prisma azul y verde provoca otro poliedro formado por triángulos pero con truncamiento y por último en el borde superior izquierdo observamos cómo se entrelazan los tres prismas triangulares provocando como interferencia  la intersección de las tres figuras anteriores, podemos ver en la parte inferior de la imagen los tres poliedros que se forman y la intersección de los mismos.

53- Se trata de construir el poliedro que definen los tres hexágonos  que aparecen en el contorno de la figura representada  en planta, alzado y perfil.

Para obtener la resolución del ejercicio vamos proyectando todos los puntos de intersección de cada una de las vistas a la contigua, de manera que podemos ver si realmente ese vértice se va a transformar en una arista o en un punto, de esta manera obtenemos la figura tridimensional que podemos ver en el borde inferior derecho.

54--En el borde superior izquierdo de la imagen podemos observar dos cubos de colores rojo y verde que están entrelazados de manera que las aristas del verde inciden en los vértices del cubo rojo. Estas tres proyecciones de ambas figuras se convierten en una dipirámide que aparece en el borde superior derecho y según esa disposición poco inteligible. En el centro de la imagen podemos ver la de dipirámide con sus caras alternas verde y azul mientras que a la derecha en la parte inferior vemos la misma dipirámide en color alterno rojo y azul, más fácil de entender al poner el eje en una posición un tanto oblicua. 

En el borde inferior izquierdo podemos observar otra vez los dos cubos en distintas proyecciones axonométricas.  En algunos casos al hacer la interferencia de cubos girados de manera que tienen diagonales principales coincidentes obtenemos dipirámides en otros casos obtenemos deltoedros (f.85).

55-Tenemos un ejercicio semejante al número 53, nos dan 3 proyecciones de un poliedro que hay que obtener y lo único que tenemos es el contorno  del poliedro en la planta, alzado y perfil , son realmente tres octógonos, en alzado y perfil son regulares y en planta irregular.

Se trata de obtener el poliedro cuyas proyecciones sean coherentes con ese contorno.

Como ya expresamos en el ejercicio anterior cada uno de los vértices de una vista, por ejemplo la planta, se proyecta al alzado de manera que se transforme en la única posibilidad, que sea una recta vertical o que tenga por proyección en alzado un punto, haciendo la misma operación con todos los vértices de la figura obtenemos la solución al poliedro y en cuya imagen podemos ver las vistas en diédrico y otras proyecciones auxiliares.

56- Ejercicio semejante al anterior, se trata de construir el poliedro cuyas proyecciones dadas en planta y alzado son hexágonos regulares, al subir los puntos de la base del hexágono regular en planta observamos que una solución inmediata es obtener ese rectángulo rojo también en alzado, lo que define ya necesariamente en un perfil un contorno perfectamente cuadrado con sus dos diagonales que corresponden a las aristas de las dos pirámides laterales de la figura, de esta manera obtenemos dos pirámides unidas por un prisma.

57- En la figura podemos observar un dodecaedro en planta y alzado en el borde superior izquierdo, contiene un eje en planta y alzado que pasa por vértices diametralmente opuestos. Al girar alrededor de este eje el dodecaedro hasta hacerlo 5 veces en ángulos iguales obtenemos la composición de 5 dodecaedros cuya representación en planta y alzado aparece en el centro de la figura y abajo en el borde superior izquierdo en perspectiva axonométrica. 

 Podemos observar en el borde superior derecho la planta y alzado de la intersección de los 5 dodecaedros,  es una figura formada por deltoides en la parte inferior y posterior y por hexágonos irregulares a lo largo de la parte central de la figura.  Podemos observar también en axonometría la representación de esta figura en el borde inferior derecho.

58- En la figura podemos ver en el borde superior izquierdo las tres proyecciones de un cubo verde y su simétrico en color rojo.  También podemos obtener este último cubo a partir del giro de la figura anterior de manera que el eje de giro pasa por dos aristas opuestas del cubo verde, al girar la figura 180° obtenemos el nuevo cubo de color rojo.  Podemos observar a la derecha la representación en planta, alzado y perfil de las tres vistas de intersección de ese cubo. En la parte inferior podemos  observar perspectivas de esa figura de intersección.

59-En la figura observamos a la izquierda en la parte superior 3 cubos que forman entre si 120 grados, realmente hemos partido de un cubo y hemos tomado el eje  que se muestra en la figura de manera que pasa por un vértice y por el punto medio de la arista opuesta, al girar el cubo alrededor de ese eje dejamos registradas las posiciones de 3 cubos en ángulos iguales, y así obtenemos los 120 grados de la circunferencia. Como podemos observar a la derecha tenemos la intersección de los tres cubos en planta, alzado y perfil en la parte superior de esa nueva configuración tenemos tres curvas planas llamadas deltoides mientras que por la parte inferior tenemos conjuntos de triángulos. 

60-En la figura podemos observar el cubo en amarillo con la posición de un eje que pasa por dos aristas paralelas opuestas de manera que tomamos el punto medio de ambas. Al tomar este cubo y hacer un giro de la figura alrededor de ese eje dejamos el registro de tres cubos,  de esta manera obtenemos la figura que aparece en el borde superior izquierdo formada por los tres cubos de color rojo, amarillo y azul, como podemos ver en el centro de la Imagen las tres proyecciones en sistema diédrico nos muestran las posiciones relativas de los tres cubos, a la derecha podemos observar la intersección de esos tres cubos también en las tres vistas del sistema diédrico, podemos observar en la figura obtenida que está formada por caras laterales que son hexágonos irregulares y pirámides en sus partes opuestas rematadas por líneas   quebradas, son formas planas cuya denominación eI deltoides

61- Podemos observar ahora en la imagen que los tres cubos obtenidos mediante un giro respecto a un eje que pasa por un vértice del cubo y el centro de la cara opuesta, provoca esa configuración de 3 cubos en color rojo, azul y amarillo y cuya intersección es la que aparece a la derecha en la imagen, una figura formada por trapezoides en su parte superior- deltoides- y triángulos en la parte inferior de la figura.

Podemos observar en el borde inferior izquierdo esa misma figura en sistema diédrico pero después de haberla girado 90 grados, en su parte inferior podemos observarla en estructura alámbrica, de igual manera podemos observar a su derecha la configuración de sus tres cubos en otra disposición y más a la derecha lo mismo en estructura alámbrica. 

62-En la imagen podemos observar la izquierda un cubo cuyo eje es la diagonal principal, al hacer un giro de la figura respecto a ese eje dejamos el registro obtenido de 4 figuras al girarlas en ángulos iguales, esto es, a 90 grados sexagesimales.  Al hacer el giro obtenemos las vistas en Sistema diédrico de la figura que aparece en el centro de la imagen,  podemos ver una forma estrellada en planta con la disposición de los cuatro cubos en color rojo, amarillo, verde y azul, en la parte superior tenemos el alzado en el que se ven los cuatro cubos de manera que el eje que ha servido para hacer el giro está en una disposición vertical.

A la derecha de estas dos vistas en planta y alzado obtenemos las dos vistas correspondientes de la intersección de todos los cubos, como podemos observar es una bipirámide, una figura formada por dos pirámides unidas por sus bases, a su derecha hemos cogido la misma figura y la hemos girado 90 grados, superponiéndola a la anterior obtenemos las dos bipiramides unidas en una sola configuración poliédrica, a la derecha obtenemos la intersección de esas dos formas, como vemos es una estructura poliédrica muy caprichosa llena de polígonos irregulares pero con bastantes simetrías pese a la transformación, en el borde inferior derecho podemos ver la perspectiva de cada una de las configuraciones que hemos ido haciendo, de izquierda a derecha podemos ver en perspectiva axonométrica los cuatro cubos girados en torno al eje, la bipirámide resultado de la intersección de los cubos anteriores,  el producto de incorporar las dos pirámides de manera que una está girada 90º  y por último la intersección de estas dos últimas figuras.

63- Como podemos observar en la imagen del borde inferior izquierdo ahora hemos cogido un cubo y hemos tomado como eje una línea que pasa por el centro de aristas opuestas, al girar ese cubo los 360° obtenemos 4 cubos de los que dejamos registro obteniendo en planta y alzado la figura que se ve formada por los 4 cubos entrelazados, como podemos observar a su derecha la intersección de estos cuatro cubos es un poliedro formado por dos pirámides unidas en sus bases por un prisma recto cuyas caras laterales son rectángulos.

A la derecha podemos observar la misma figura de manera que el cubo rojo nos muestra en planta una arista superior en posición horizontal, de esta manera a la derecha podemos observar más clara la intersección de los 4 cubos donde efectivamente se ven las dos pirámides y el prisma que en las enlaza. 

Curiosamente en la figura 60 teníamos la misma disposición para el eje de giro, pasaba también por el centro de dos aristas opuestas pero como se dejaba el registro de 3 cubos obteníamos una figura formada por deltoides y hexágonos laterales, mientras que en este caso en vez de deltoides son triángulos y en vez de hexágonos laterales son rectángulos. Cuando las caras superior e inferior de la pirámide aparecen paralelas obtenemos rectángulos laterales como en este caso, mientras que cuando las caras están ligeramente giradas como pasa en el ejemplo de los tres cubos obtenemos figuras alternas que provocan los deltoides y los hexágonos irregulares.

64- En la figura podemos observar que en este caso hemos tomado el eje de giro que pasa por un vértice de un cubo y por el centro de una arista opuesta, de esta manera lo hemos girado dejando el registro de 4 cubos y podemos observar en la parte central superior y en el borde superior derecho las tres proyecciones en sistema diédrico.

Al igual que en la figura 59 obtenemos un poliedro formado por deltoides en su parte superior y triángulos en la parte inferior, tal y como se puede ver en la parte derecha inferior de la figura en la que aparece el poliedro y más a su derecha los cuatro cubos. Podemos observar también en el borde inferior izquierdo de la imagen dos perspectivas del poliedro obtenido.

65-  Volvemos a ver el caso de un cubo cuyo eje de giro pasa por el centro de dos aristas opuestas, tal y como se ve en el centro de la imagen, al girar el cubo y dejar el registro de 5 cubos obtenemos la configuración en sistema diédrico que se ve en el borde superior izquierdo mientras que en la parte derecha se pueden ver las vistas de la figura que es intersección de los 5 cubos anteriores, como podemos observar es una figura formada por pirámides que son cortadas por un prisma recto y en cuya intersección provoca en caras laterales hexágonos irregulares y la terminación de las pirámides provoca que sus caras laterales se conviertan en deltoides. 

Tenemos el mismo caso que en la figura 60, aunque ahí se hacía el giro de 3 cubos pero como podemos observar la disposición del eje era exactamente igual y se obtenía la misma figura formada por deltoides y hexágonos irregulares. 

66- Podemos observar el mismo caso que en la figura 61 aunque ahí se hacía con el giro de 3 cubos, tenemos que el eje pasa por el vértice del cubo y por el centro de una cara próxima.

Al hacer el giro de un cubo dejamos el registro de 5 cubos tal y como se ve en el centro de la imagen, a la derecha podemos observar la intersección de esos 5 cubos qué es un poliedro formado por deltoides y triángulos.

67- Podemos observar ahora en la imagen del centro un cubo y la posición del eje, del vértice a un punto medio de la arista, sobre el cual gira el cubo dejando registro de 6 cubos, la configuración de estas seis figuras sale en el borde superior izquierdo mientras que podemos ver a la derecha la intersección de los 6 cubos que genera un poliedro  con forma de deltoides en sus caras laterales para la parte superior y triángulos en sus caras laterales para la parte inferior.

 En el borde inferior derecho podemos ver esa figura en distintas perspectivas axonométricas mientras que a la izquierda en el borde inferior derecho podemos ver las perspectivas de los 6 cubos entrelazados. 

68- Al igual que en la figura 65 podemos ver la disposición de un eje de giro que pasa por el centro de aristas opuestas, al girar el cubo y dejando registro de 7 cubos obtenemos la configuración que se ve a la izquierda en sistema diédrico con las tres proyecciones de los 7 cubos. En la parte derecha podemos observar el nuevo poliedro que se forma como intersección de esos cubos. Está constituido por deltoides en la parte superior e inferior y hexágonos irregulares en la parte lateral central.

 69- Tenemos el mismo caso que en la figura 67 pero ahora con 8 cubos en vez de 6 cubos, como podemos observar el eje pasa por el vértice y el centro de una arista opuesta, al hacer el giro de 8 cubos obtenemos en la intersección el poliedro que aparece formado por deltoides y triángulos, tal y como se puede ver en la parte derecha del dibujo, en diédrico en la parte superior y en axonometrías en la parte inferior.

70- En la imagen podemos observar un dodecaedro y la posición del eje de giro que pasa por aristas opuestas, al girar la figura alrededor de ese eje y dejando registro de tres dodecaedros obtenemos la figura que se ve en el centro de la imagen con sus tres proyecciones, la intersección de los tres dodecaedros nos muestra en la parte derecha de la imagen las tres vistas del nuevo poliedro obtenido.  En la parte inferior podemos ver a la izquierda las perspectivas de los dodecaedros entrelazados y a la derecha las perspectivas del nuevo poliedro objeto de la intersección de los dodecaedros.

71- Hacemos la misma transformación que en el ejercicio anterior, pero en este caso tomamos un icosaedro y tomando dos aristas opuestas respecto al centro de la figura obtenemos un eje sobre el que giramos la figura dejando registro de tres icosaedros, las proyecciones de estas tres figuras aparecen en el centro de la imagen mientras que a la derecha aparece la intersección de las tres figuras, como en el ejercicio anterior en la parte inferior de la imagen obtenemos varias perspectivas de ambas configuraciones.

 72- Volvemos a tomar el icosaedro pero ahora colocamos el eje de giro por dos vértices opuestos del mismo,  tal y como se ve a la derecha de la imagen, al girar la figura y dejar el registro de 2 icosaedros obtenemos el poliedro compuesto cuyas proyecciones en planta y alzado aparecen a la izquierda de la imagen, a su derecha  y en el centro de la imagen podemos observar la intersección de los dos icosaedros en planta y alzado.

 73- Podemos observar a la izquierda las proyecciones en planta y alzado del dodecaedro, tenemos una recta de punta que atraviesa el dodecaedro por la mitad de dos aristas opuestas, esta recta que corta la figura es el eje de giro que provoca según se ve en el centro de la imagen la composición de 3 dodecaedros girados cada uno respecto al anterior a 120 grados, a su derecha podemos observar la intersección de los 3 poliedros regulares y más a la derecha observamos las perspectivas de los tres dodecaedros entrelazados mientras que en la parte inferior de la imagen podemos observar las perspectivas axonométricas de la intersección de los 3 poliedros.

 74-  A la izquierda de la imagen podemos observar el icosidodecaedro, es la figura intersección del dodecaedro e icosaedro, poliedro arquimediano que también se puede obtener por el truncamiento de tipo uno de los poliedros anteriores. Cogemos un eje de giro que pasa por vértices opuestos y giramos la figura de manera que dejamos registro de 5 icosidodecaedros, de esta manera obtenemos en planta y alzado las proyecciones de esas figuras. Esas dos proyecciones las podemos ver en el centro de la imagen mientras que a su derecha podemos observar la intersección de esos cinco poliedros, una figura formada por trapecios, hexágonos y deltoides.

 75- Tenemos en el borde superior izquierdo un dodecaedro que como vemos en la parte inferior es girado por dos ejes de giro, uno que corresponde al eje A y otro que corresponde al eje B, al hacer el giro de 5 elementos obtenemos la figura que aparece en el Centro de la Imagen en sus proyecciones en planta y alzado mientras que al hacer el giro respecto al otro eje e interfiriendo la misma figura que sale con el poliedro anterior obtenido, obtenemos a la derecha de la imagen la intersección de aplicar los dos giros. tenemos en el primer caso que es la intersección de 5 dodecaedros y esa misma figura también la hemos obtenido mediante un giro de un eje ortogonal al anterior, de manera que la intersección del giro de A + B es en realidad la intersección de 10 poliedros.El poliedro obtenido al final resulta de la intersección los cinco dodecaedros girados respecto  a un eje  y los otros cinco dodecaedros girados respecto al otro eje ortogonal.

76- Un cubo gira tomando como eje el segmento que pasa por el centro de aristas opuestas, tal y como se ve en el centro de la imagen.  Una vez que gira el cubo va dejando registros de 3 cubos, cuatro, cinco... y así hasta nueve.  Podemos ver en la parte inferior de la imagen las distintas perspectivas de los cubos entrelazados y justo por encima una franja con el poliedro resultante de la intersección de todos esos cubos girados.  En el caso de cuatro cubos se da la misma situación que con dos cubos ya que son coincidentes tras el giro y es como si hubiera solo dos cubos.

En la franja horizontal superior observamos las proyecciones ortogonales de las intersecciones de esos cubos mientras que en la franja inferior observamos todos los cubos entrelazados desde el 3 hasta el 9.

Podemos observar en el caso 3, 5, 6, 7 y 9 que obtenemos poliedros formados por deltoides y hexágonos mientras que en el caso 4 y 8 obtenemos poliedros formados por triángulos y rectángulos.

77-En la imagen podemos ver los mismos casos de la figura anterior, en el centro de la misma aparece la intersección de los cubos cuando giran en torno al eje que pasa por la mitad de dos aristas opuestas, como podemos observar en el caso número 4 y el número 8 entre las pirámides aparecen prismas rectos con caras laterales rectangulares mientras que en los demás casos aparecen hexágonos regulares en sus laterales y deltoides en la parte superior e inferior.

 78- En esta imagen se muestra el caso en el que el eje de giro pasa por un vértice y por una arista opuesta, al hacer el  giro del cubo se va dejando el registro de sus distintas posiciones para varios cubos, una vez que hacemos la intersección de los cubos podemos observar en casi todos los casos cómo se forman figuras formadas por triángulos en su parte inferior y deltoides en la parte superior. Se puede ver una excepción en el caso de dos cubos, el primer ejercicio de la izquierda, la intersección de ambos cubos genera en su parte inferior trapezoides y en la parte superior triángulos y deltoides.

79- Aquí tenemos el caso 6 de la figura 77, podemos observar que el eje en planta y alzado tal y como aparece a la izquierda de la imagen pasa por los puntos medios de las aristas verticales del cubo amarillo, al hacer el giro de este cubo en una vuelta completa y dejando registro de 3 cubos a 120 grados podemos observar cómo se genera una figura formada por pirámides en sus partes opuestas, o sea una bipirámide, que es cortada por un prisma hexagonal, el tipo de corte hace que provoque en las pirámides caras de deltoides y en el prisma caras hexagonales.

80- En la imagen podemos ver 5 cubos, como podemos observar en las proyecciones en diédrico a la izquierda de la figura,  el eje de giro es una recta de punta que pasa por la diagonal  de la cara de un cubo. Como podemos observar la unión de esos 5 cubos nos da esa figura que en alzado es un pentágono regular, pero la intersección de los 5 cubos no existe ya que giran todos en torno a una recta diagonal de la base de 1 de ellos.  A la derecha podemos ver el otro caso que ya vimos en la figura 76 y  77 en la que el eje de giro estaba situado en los puntos medios de aristas opuestas y al hacer un giro  con el registro de 5 cubos obtenemos la figura que se ve a la derecha en sistema diédrico. 

81-Podemos observar en la imagen  en el borde superior izquierdo las tres proyecciones en diédrico de un cubo que ha girado una vuelta completa dejando el registro de 3 cubos, como ya vimos en el ejercicio anterior esa transformación no supone intersección alguna, en la imagen de la derecha se representan los tres cubos de forma independiente con las líneas ocultas en color azul claro mientras que en la parte inferior se representa la unión de los cubos que genera realmente una sola entidad.

82- En la imagen podemos observar el ejercicio que ya vimos en los casos anteriores, el 76,  el 77 y el 80, el cubo que era girado a través de un eje que pasaba por la mitad de sus aristas provocando esa figura que ahora aparece en distintas posiciones, en el lado izquierdo observamos que el cubo amarillo aparece con sus proyecciones en planta y alzado representadas como un cuadrado, observamos que el eje de giro es una línea de perfil qué pasa a 45 grados por la mitad de las aristas de ese cubo provocando en consecuencia una intersección que aparece con el eje inclinado en el mismo grado según se ve a su derecha.

En el lado derecho podemos observar que ahora el eje de giro es una recta horizontal qué forma 45 grados con el plano vertical de esta manera la intersección aparece en una forma más inteligible.

83-En la imagen de la izquierda podemos observar un cubo que gira dejando registro de 3 cubos, originalmente el cubo es  de color verde y al girar en su registro deja una intersección que se refleja en color amarillo, resulta de esa intersección un prisma que aparece representado en el borde superior derecho de la imagen en planta y alzado. A su izquierda se puede ver también en planta y alzado los tres cubos, cada uno de un color y con la intersección en la parte central y en alzado de color amarillo, a su izquierda podemos observar esa misma figura en perspectiva.

En el borde inferior derecho esa misma figura formada por 3 cubos se coge y se gira 90 grados,  sin borrar la anterior se superpone a la misma y se obtiene la  intersección de 6 cubos, en la parte central inferior de la figura podemos observar en planta y alzado el resultado de la intersección de esos 6 cubos, realmente es la intersección de dos prismas, de manera que tienen los ejes ortogonales entre sí.

84-En la figura 7 del caso 78 habíamos visto ya lo que se formaba como intersección de 7 cubos cuando el eje de giro pasaba por un vértice y  por el centro de una arista opuesta. En esta figura observamos a la izquierda el bloque de 7 cubos en planta y alzado y su representación de la intersección a su derecha formada por deltoides en su parte inferior y triángulos en su parte superior, a la derecha cogemos la misma figura y la giramos en el espacio 180° para poder ver la posición de los cubos en su parte inferior. Más abajo podemos observar distintas perspectivas de la figura resultante.

85-En la imagen podemos observar una transformación ya contemplada anteriormente pero que nos muestra como el eje de giro que es la diagonal principal del cubo deja registro de 7 cubos a la izquierda y de  2 cubos a la derecha de manera que en el primer caso la intersección provoca un deltoedro, como podemos observar es una figura formada por deltoides en su parte superior e inferior, observamos a la derecha que el registro de dos cubos deja como intersección una dipirámide. La diferencia entre que salga una figura u otra radica en que haya simetría respecto al plano horizontal o meridiano que pasa por el centro de las figuras, como podemos observar en el borde inferior derecho el cubo azul tiene simetría respecto al cubo rojo si consideramos como plano de simetría el plano que pasa ortogonal a la vertical por el punto medio.

86- Podemos observar en esta imagen el mismo caso que el anterior, el eje de giro es la diagonal principal y al dejar registro de 5 cubos obtenemos el deltoedro que se observa en la parte  izquierda de la figura mientras que a la derecha el registro de 4 cubos y sus intersecciones genera una figura formada por dos pirámides llamada dipirámide.

 87- A la izquierda de la imagen en su parte superior podemos observar un icosidodecaedro.

A su derecha podemos observar un icosidodecaedro y un dodecaedro superpuestos generando un poliedro compuesto, esa figura aparece a la derecha de esta pero ahora en una perspectiva, al aplicar la intersección de esos los poliedros regulares obtenemos la imagen en el borde superior derecho de un icosidodecaedro,  realmente es el volumen común a los dos poliedros anteriores.

Más abajo podemos observar que un dodecaedro a la izquierda más un icosaedro se intersecan provocando esa figura que está señalada con una flecha, abajo a la izquierda podemos observar el poliedro compuesto por ambos poliedros, icosidodecaedro y dodecaedro y abajo de todo a su derecha observamos la perspectiva de la intersección de ambas figuras.

Podemos observar también a la derecha en la parte inferior un poliedro compuesto en planta y alzado y a su derecha una perspectiva, en el borde inferior derecho aparece dentro de una elipse las dos figuras objeto de la composición e intersección, el dodecaedro y el icosidodecaedro. 

88- En la parte superior izquierda observamos distintas proyecciones de un icosaedro regular, el contorno de esas tres vistas lo tomamos para hacer tres prismas que tienen esa sección, son los tres prismas entrelazados que aparecen en grande en el centro superior de la imagen.

La intersección de esos tres prismas provoca un dodecaedro irregular del que podemos cortar sus esquinas provocando un icosaedro regular. 

Paradójicamente si hacemos lo mismo con su poliedro dual, el dodecaedro regular, en las intersecciones de sus tres prismas construidos con los contornos nos da realmente el dodecaedro regular. Siendo duales ambos poliedros y teniendo tantas coincidencias al igual que el dodecaedro genera en sus vistas convertidas en prismas el mismo poliedro, parecería normal que el icosaedro también provocara directamente la misma figura pero no es así, hay que truncarlo para obtener otra vez el icosaedro regular.

89-En la imagen podemos ver en planta y alzado y a la izquierda un dodecaedro regular, poliedro formado por 12 caras pentagonales regulares,  del mismo poliedro se hace una copia y se gira 90 grados horizontalmente obteniendo en la superposición con el poliedro anterior un poliedro  compuesto que aparece en planta y alzado en el centro de la figura.  A la derecha podemos observar la intersección de ambos poliedros, como podemos observar realmente es un cubo que tiene apoyadas en sus caras pirámides, es  muy parecido a un poliedro de Catalan que tiene aproximadamente la misma forma aunque la inclinación de las caras difiere un poco, es llamado hexaedro tetrakis, dual del arquimediano llamado octaedro truncado y que se obtiene al cortar las caras del octaedro regular por un corte de tipo 2 de manera que cada cara triangular provoca un hexágono regular rodeado de cuadrados. Si tomamos los centros de las caras de este poliedro de Catalan obtenemos el arquimediano octaedro truncado.

90-En la imagen podemos observar a la izquierda en planta y alzado un poliedro compuesto por 2 dodecaedros regulares,  el eje de giro que provoca estos dos poliedros se puede ver en la parte derecha de la imagen, el dodecaedro regular original es girado por un eje que es una recta horizontal que pasa por una diagonal de la figura interceptando a los dos vértices de la figura que se ven en planta. Al hacer el registro del giro obtenemos el poliedro compuesto cuya intersección aparece en el centro de la imagen en planta y alzado, podemos observar que es la composición de dos pirámides en los extremos y otras pirámides truncadas unidas por la base y cuyas caras laterales son trapecios.

91-En la figura de la izquierda en planta y alzado observamos 5 esferas, hemos tomado una de ellas y hemos pasado un eje vertical que la corta aleatoriamente por una esquina, es una recta secante que la corta en dos puntos, al hacer el giro de la esfera dejando registro en una vuelta completa de 5 esferas obtenemos en la intersección esa figura formada por fragmentos de esfera que realmente no son usos aunque lo parezcan, ya que no pasan por los polos de las esferas.  Hacemos la misma operación a la derecha con tres esferas provocando una figura similar pero de tres partes.

92- Volvemos a hacer la misma operación que en el ejercicio anterior pero ahora el eje de giro es tangente a la esfera original, como  es tangente la intersección de las ocho esferas no provocaría ningún cuerpo ya que las diametralmente opuestas solo tienen un punto de contacto.  A su derecha representamos la intersección de dos esferas, la gris y la verde, la magenta y la azul, etc., de esta forma obtenemos esa figura caprichosa en forma de cruz.

 Al hacer una matriz o giro respecto al eje original de esas intersecciones anteriores obtenemos esa forma circular que sigue una simetría radial y que se muestra a la derecha y en la parte inferior derecha en color ocre y azul.

93- En la figura representada en el borde izquierdo observamos nueve esferas, son 5 esferas dispuestas en una matriz polar cuyos centros pasan por un palo plano frontal, a continuación esas mismas cinco esferas se han girado 90 grados de manera que el eje de giro es una recta paralela a la línea de tierra y que pasa por el centro de la esfera azul provocando otras cinco esferas de manera que la azul en el giro es coincidente consigo misma y en consecuencia generan las 9 esferas y cuya intersección aparece a la derecha a tamaño real, se ha repetido la figura un poco más a la derecha pero a una escala mayor para que se pueda observar la nueva figura obtenida también en planta y alzado y en varias perspectivas a la derecha.  

Estas configuraciones sirven para obtener figuras poliedrales con caras esféricas y también para el estudio de poliedros ya que muchos poliedros se forman a partir de otros esferificando o convirtiendo en estructuras geodésicas las aristas que lo conforman, por ejemplo, en execontaedro deltoidal está formado por la unión de un icosaedro y un dodecaedro regular al que se le proyectan los puntos medios de sus aristas sobre una esfera, la composición de ambos poliedros esferificados y proyectados sobre la esfera produce las caras del execontaedro deltoidal formado por deltoides. 

94- En la imagen podemos observar casos vistos hasta ahora con las distintas posiciones de los ejes de giro que no siempre provocan el mismo tipo de figura, la diferencia casi siempre radica en si es par o es impar o si hay algún tipo de coincidencia entre las figuras giradas. Podemos observar a la izquierda de todo el caso en el que el eje pasa por un vértice y la mitad de una arista opuesta provocando una figura formada por deltoides y triángulos,  en el segundo caso más a la derecha observamos el eje que  es la diagonal principal del cubo y que en el caso de 4 cubos generaba una dipirámide, en el tercer caso el eje  pasa por la mitad de las aristas y en el caso de dos cubos provocaba dos pirámides unidas por un prisma, el caso siguiente es equivalente al primer caso mientras que en el caso siguiente el eje de giro pasa por un vértice y el centro de una cara, respecto al caso anterior en vez de obtener deltoides en su forma superior obtenemos triángulos, lo mismo pasa en el caso siguiente cuando el eje de giro pasa por el centro de la arista y el centro de una cara y para el último caso que aparece a la derecha tenemos el mismo caso que el antepenúltimo.

95-  Tenemos un caso en el que podemos ver las distintas posiciones de los ejes y el registro de 5 cubos cuya intersección aparece en la parte superior de la imagen, podemos observar los distintos casos que aparecen por regla general triángulos o deltoides siempre de manera alterna excepto en el caso cuarto que aparecen deltoides con hexágonos irregulares, en el caso tercero obtenemos el deltoedro, la única figura catalogada de todas las que aparecen en la imagen, por ser dual del antiprisma.

 96- En la figura observamos un poliedro estrellado cóncavo de los llamados de Kepler Poinsont, realmente se puede construir a partir de un dodecaedro al que se le prolongan las aristas provocando el pequeño dodecaedro estrellado que realmente tiene pirámides sobre las caras del dodecaedro. Los vértices superiores de esas pirámides generan un icosaedro y si por cada tres puntos pasamos los planos que están en distintos colores y quitamos los volúmenes sobrantes obtenemos esta figura llamada Gran icosaedro.

97- A la izquierda podemos observar un icosaedro regular que es un poliedro que tiene 20 caras que son triángulos equiláteros, la figura representada en sistema diédrico se copia y se hace un giro  horizontal de 90 grados de la misma haciendo que corte a la anterior, de esta manera obtenemos un poliedro compuesto por dos icosaedros y cuya intersección aparece también en sistema diédrico a su derecha. 

A la derecha obtenemos la perspectiva de la figura, como podemos observar es un poliedro con bastante esfericidad formado por un hexágono irregular que está rodeado siempre de pentágonos irregulares, de esta manera obtenemos tres franjas de pentágonos irregulares que siguen meridianos de la esfera que lo inscribe. siendo esas tres franjas incidentes por los planos coordenados y dejando los hexágonos ubicados entre las tres franjas de pentágonos.

98- En la imagen podemos observar las transformaciones que ya hicimos en ejercicios anteriores, a la izquierda los dos dodecaedros superpuestos que provocan el poliedro compuesto y cuya intersección es un poliedro que se parece al de catalán llamado hexaedro tetrakis, mientras que a la derecha la intersección de los dos icosaedros, uno girado respecto al otro 90 grados, como con el dodecaedro, provoca esa forma poliedral de la derecha parecido a un icosaedro truncado pero que está formado por pentágonos y hexágonos, ambos irregulares. 

En la parte inferior de la imagen podemos observar las cuatro perspectivas de los poliedros en cuestión.

99- En  la imagen podemos observar en la parte inferior tres dodecaedros, dos de ellos girados, cuya composición provoca el poliedro compuesto de la derecha del borde inferior, ese mismo poliedro está representado en el borde superior derecho en planta y alzado y a su derecha la intersección de los tres dodecaedros,  a la izquierda se muestran varias perspectivas de el poliedro compuesto y el poliedro resultado de la intersección.

100- En la imagen podemos ver a la izquierda dos icosaedros entrelazados que configuran un poliedro compuesto, a su derecha podemos ver la intersección en planta y alzado de ambos poliedros,  un nuevo poliedro constituido de pentágonos y hexágonos regulares que estudiamos en una imagen anterior,  al considerar este poliedro y girarlo sobre un eje la vuelta completa de manera que deja el registro de tres Poliedros iguales, obtenemos la figura 3ª en planta y alzado,  mientras que la cuarta figura a la derecha en el borde superior corresponde a la intersección de esos tres nuevos poliedros, también en  planta y alzado.

 En la fila inferior se muestran los cuatro poliedros en perspectiva.

101- En la imagen podemos observar en la parte superior la intersección del icosaedro y dodecaedro que provoca ese poliedro  de polígonos irregulares,  en la parte inferior vemos que ambos poliedros unidos provocan un poliedro compuesto en el que se percibe originalmente el icosaedro y aflora en cada una de sus caras pirámides que corresponden al dodecaedro regular.

A la derecha observamos en planta,  alzado y en perspectiva el resultado de aplicar la intersección que describimos al principio.

102- Podemos ver en la imagen cómo al girar un cubo respecto al eje que se muestra en el borde superior izquierdo, esto es, un eje que pasa por el medio de una arista y por el centro de una cara, que nos sirve para girar un cubo una vuelta completa, de manera que vamos dejando el registro de 2, 3,4 y así hasta 6 cubos.

Podemos observar en la fila superior los distintos poliedros que se forman,  algunos casos ya los habíamos visto en alguna imagen anterior, inmediatamente debajo tenemos la planta y alzado de la composición de los cubos con el número de elementos que lo constituyen, y más abajo tenemos las perspectivas de esos cubos. Volvemos a tener en la fila inferior las intersecciones de esos cubos, podemos observar en el caso de la derecha una de pirámide, en los otros casos figuras no catalogadas formadas por deltoides y triángulos y algún caso  diferenciado de los anteriores 

103-  Tenemos un caso diferenciado del anterior, el eje de revolución ya no pasa por el centro de una arista sino por el vértice del cubo y por el centro de una cara, al hacer el giro como siempre observamos el conjunto de cubos que configuran poliedros compuestos, en la parte superior vemos la fila de poliedros resultado de la intersección, en general son polígonos formados por deltoides y triángulos salvo en el primer caso  que no aparecen deltoides.

104- Otra vez el mismo caso de la imagen anterior y podemos observar con más detalle los poliedros que resultan de la intersección, en este caso se ve más claramente en los alzados cubo aparecen los deltoides.  En la parte superior de los poliedros se puede observar siempre triángulos.

 105- Tenemos el mismo caso que en los dos ejemplos anteriores, en esta imagen se marcan los números que corresponden a la cantidad de cubos que quedan registrados, en las franjas inferiores se puede observar con más detalle los poliedros resultado de la intersección.

 106- En esta imagen podemos observar que el eje de giro es la diagonal principal del cubo, en la franja inferior se muestra en sistema diédrico el número de cubos que generan esos poliedros compuestos, el caso 2 y 6 son coincidentes porque coinciden los ángulos y por tanto aparecen realmente solo dos cubos, el caso 3 no existe porque al girarlo coincide consigo mismo que son 120 grados y las aristas del cubo en esa posición son coincidentes, por último tenemos los que quedan hasta 9 cubos.

Podemos observar que la intersección para  todos los pares, 2, 4, 6 y 8, tenemos que salen dipirámides mientras que para los casos restantes salen deltoedros.

107- Podemos observar exactamente las mismas figuras que en el ejemplo anterior salvo que están en una posición oblicua.

108- Otra vez tenemos los mismos ejercicios que en los dos casos anteriores, en este caso podemos ver la posición oblicua como en la posición frontal de las figuras, tanto en la composición de los cubos como en sus intersecciones.

 109- Podemos observar en esta imagen un eje que pasa por el vértice del cubo y por su arista opuesta, al hacer el registro de los cubos en una vuelta completa observamos en el centro de la Imagen en planta y alzado la composición de los cubos mientras que podemos observar en la parte superior una fila con los poliedros que se obtienen, muy diferenciado el caso  primero de dos cubos y bastante afín en los otros casos salvo por el número de polígonos.

110- Podemos observar en esta imagen el registro de los 7 cubos cuando el eje de giro pasa por un vértice y centro de una cara,  en el centro de la imagen aparecen los cubos en sistema diédrico mientras que a la derecha aparece la intersección de los mismos también en planta, alzado y perfil. 

En la parte inferior aparecen las perspectivas de ambas configuraciones mientras que en la izquierda en la parte inferior tenemos la misma composición de cubos pero después de haberlos girado 180 grados.

111- Podemos observar el giro del cubo que registra cuatro cubos en torno al eje de revolución que pasa otra vez por el vértice del cubo y el centro de una cara apuesta, observamos en el centro de la imagen la planta y alzado de la figura y a su derecha el poliedro resultado de la intersección, más a la derecha observamos otra vez las dos mismas figuras pero después de haberlas girado 180 grados.  En la parte inferior de las imágenes observamos las distintas perspectivas del poliedro compuesto y de la intersección de los cubos.

112- En la  imagen  del centro podemos ver un octaedro  regular que se gira en torno al eje que tiene marcado entre los puntos medios de dos aristas opuestas, una vez que se hace el giro se deja el registro de 7 octaedros, de manera que obtenemos la representación en planta y alzado que tenemos en la izquierda,  se ha hecho también una vista auxiliar para mostrar las formas estrelladas en verdadera forma.  

A la derecha del dibujo aparece la intersección de todos esos  octaedros regulares, en la parte inferior de la imagen aparecen las perspectivas,  a la izquierda del conjunto de poliedros y a la derecha del poliedro resultante de la intersección de todos.

113-  En el centro de la figura se observa un dodecaedro en color rojo con un eje que lo atraviesa entre  los puntos medios de aristas opuestas.

 Una vez que se gira la figura en torno a ese eje se deja en registro de cinco dodecaedros. 

En la figura 1 de la izquierda superior aparece en planta y alzado los cinco dodecaedros que se forman, a su derecha en el punto 2 aparece la intersección de esos cinco dodecaedros.

  En el número 3 observamos la misma figura de cinco dodecaedros superpuesto a otros cinco girados también pero tras haber aplicado a estos últimos un giro de 90 grados,  en la figura 4 podemos ver la intersección de esos 10 dodecaedros.

 En la parte inferior de la imagen podemos observar las perspectivas de los cuatro ejercicios distintos.

114- En la figura podemos observar en el número 1 las formas planas del contorno de un icosaedro, al extruir esas tres formas en las direcciones de los ejes cartesianos se forman los tres prismas de color de la figura 1 y 2, ya superpuestos.

Podemos ver en la figura 2 3 4 y 5 la superposición de los tres prismas en el primer caso y de dos prismas en los casos 3 4 y 5

Tenemos en el número 6  la intersección de los 3 prismas que corresponde a la figura 2, como podemos ver es un dodecaedro irregular, una figura de 12 caras que tiene polígonos pentagonales irregulares.  Esta figura es una composición de las intersecciones 7 8 y 9, que son respectivamente las intersecciones de los prismas de las figuras 3, 4 y 5.

 En la Figura 12 puedes ver la estructura de las figuras 7 8 y 9 superpuestas en modo alámbrico mientras que en color aparecen la intersección de las 3, así como en el poliedro de la figura 6.

En la Figura 11 vemos también las formas alambricas de las formas 7 8 y 9, mientras que en la Figura 14 le cortamos las esquinas piramidales a la 13  y obtenemos la figura 15 que es el icosaedro regular. 

115- A la izquierda de la figura en el borde superior vemos tres prismas entrelazados que consisten en contornos del dodecaedro extruidos, son las tres vistas que corresponden a la planta, alzado y perfil del dodecaedro y cuyas intersecciones provocan el dodecaedro regular, como aparece en el extremo superior de la imagen.

 En los casos 1 2 y 3 son las intersecciones de los prismas anteriores pero en conjunto de dos prismas, podemos ver que las tres figuras son idénticas pero están dispuestas en formas distintas de manera que si juntamos todas obtenemos la figura que sale en el borde superior derecho de la imagen.

En el borde   inferior derecho de la imagen aparece la intersección de esos tres bloques, los tres en estructura alámbrica y la intersección de los mismos a color, que es un dodecaedro regular.

116- En la imagen inferior izquierda podemos observar dos tetraedros entrelazados cuya intersección es el octaedro regular,  figura que aparece a la derecha de esa imagen.

Más arriba se puede ver en sistema diédrico ambas figuras,  a la izquierda los dos tetraedros regulares entrelazados y a la derecha la intersección de los mismos.

117- Podemos observar en la franja superior derecha primero los dos tetraedros entrelazados, en el número 1 tenemos un tetraedro y el número 2 otra vez los dos entrelazados, mostrando en el número 3 la intersección de ambos poliedros, que resulta un octaedro regular.  

A la derecha vemos un octaedro regular verde  con el eje vertical que pasa por vértices opuestos, la distancia entre vértices opuestos es siempre la misma por cierto.

Al girar el octaedro regular y dejar registro de tres octaedros podemos observar la figura resultante en el borde inferior izquierdo en sistema diédrico, planta, alzado y perfil de los tres octaedros y debajo del perfil la perspectiva de ese conjunto de poliedros.

A la derecha podemos observar la intersección de todos estos octaedros regulares, como podemos observar es una dipirámide que aparece en planta, alzado y perfil.

118- En la imagen podemos ver en la parte superior la representación en sistema diédrico de 5 octaedros girados bajo un mismo ángulo, a su derecha observamos la intersección de los octaedros, que resulta una dipirámide.

En la parte inferior de la imagen vemos a la izquierda las perspectivas de los cinco octaedros entrelazados a la izquierda, en el centro observamos las perspectivas de las pirámides, y a la derecha observamos el octaedro regular y la posición del eje sobre el cual se ha girado la figura para provocar 5 octaedros entrelazados y sus intersecciones. 

119- Podemos observar a la izquierda en el borde superior la proyección de un rombododecaedro, debajo tenemos esa misma figura en perspectiva y con el eje oblicuo, al hacer el giro de este poliedro de Catalan y dejar registro de 6 figuras obtenemos la que aparece en planta y alzado en el centro superior de la imagen, a su derecha obtenemos la intersección de las seis figuras. debajo tenemos las perspectivas de ambas figuras.

120- Tomamos la misma figura del ejercicio anterior y dejamos tras el giro, el registro de tres rombododecaedros, de esta manera obtenemos en el borde superior izquierdo la planta, alzado y perfil de ese conjunto de poliedros mientras que a la derecha obtenemos la intersección de los mismos, inmediatamente debajo de ambas representaciones tenemos las perspectivas de los poliedros como de sus intersecciones.

121- En la imagen tenemos en la figura 3, tres prismas entrelazados siguiendo las direcciones de los ejes cartesianos, tal y como aparecen de manera independiente en la figura 11, al aplicar la intersección de los mismos obtenemos un rombododecaedro, que es la figura que aparece en perspectiva en el número 6 y número 7, también aparece en planta y alzado en el número 2 en el borde inferior derecho.

 Los tres prismas entrelazados lo representamos en planta, alzado y perfil en el número 1 y según esa disposición tenemos en el número 2 la intersección de los 3 prismas en planta alzado y perfil.

 Si tomamos la perspectiva axonométrica de los tres prismas entrelazados que es realmente lo que aparece en el número 3, obtenemos en la intersección la figura del rombododecaedro en perspectiva axonométrica isométrica en el número 4.

 Si ahora tomamos el rombododecaedro dibujado en el número 8 en color verde y en el 9 de la misma manera, pero con modo alámbrico, observamos que al cortar pirámides de la figura obtenemos la figura número 10 que es el octaedro regular.

 En la Figura 12 aparece el octaedro al que se le han quitado algunos trozos para empezar a construir el octaedro regular.

122- Siguiendo la imagen 121, observamos a la izquierda  el número 1 que son los tres prismas en las tres direcciones de los ejes y el número 2 que ya están entrelazados, en el número 3 4 y 5 es ese mismo grupo de prismas pero se le ha quitado siempre uno de ellos, en el 3 se le ha quitado el rojo, en el 3 el amarillo, y en el 4 el verde, a continuación observamos la intersección de esos prismas a su derecha, qué son realmente el número 6 7 8 y 9, el 6 corresponde al 5, el 7 al 4, el 8 al 3 y el 9 al 2.

A la derecha obtenemos las mismas figuras del 2 al 5 qué equivalen del 2 al 5 en el otro grupo pero ahora los números aparecen en color azul, quiere decir que están representados en otra perspectiva. También tenemos en azul otra perspectiva conforme a la de los números azules anteriores donde aparecen las perspectivas de los cuatro poliedros, el 9 es un rombododecaedro.

Si ahora tomamos el rombododecaedro que es la figura que aparece en el número 10 y le cortamos las pirámides  de base triangular en sus esquinas obtenemos el poliedro azul número 12 que es un octaedro regular, también podríamos cortar pirámides de base cuadrangular para obtener un cubo.

Podemos ver el truncamiento  -aplicado sobre rombododecaedro- de las pirámides de base triangular en el número 11.

123- En la figura izquierda podemos observar un tetraedro que es atravesado por un eje de manera que corta a dos aristas opuestas que se cruzan ortogonalmente.

Al hacer un giro de la figura y dejando registro de 3 tetraedros obtenemos la figura que se forma en planta y alzado a su derecha, podemos observar las aristas horizontales superiores de los 3 poliedros en color amarillo, verde y azul.

A su derecha podemos observar también en sistema diédrico la intersección de los 3 tetraedros regulares que es un deltoedro, a la derecha de todo observamos la misma figura superpuesta a la anterior,  los tres tetraedros aparecen en modo alámbrico y en el centro la intersección de los mismos en color verde claro.

124- Podemos observar la misma figura del ejercicio anterior, a la izquierda tenemos la planta, alzado y perfil de los tres tetraedros girados a igual ángulo mientras que debajo del perfil obtenemos la perspectiva axonométrica isométrica de las tres figuras encuadradas dentro de una elipse.

En el centro observamos nuevamente el tetraedro con el eje que lo atraviesa mientras que a la derecha o observamos la intersección de los 3 tetraedros que provoca el deltoedro representado en planta alzado y perfil, por debajo del perfil podemos obtener la imagen en axonometría isométrica del  deltoedro.

125- En la  imagen del centro observamos un tetraedro como un eje de revolución que lo atraviesa de arista a arista opuesta, ambas por el punto medio, al hacer un giro de 90 grados y dejar registro de la nueva figura aparece el tetraedro azul del borde inferior izquierdo.  La intersección de ambos tetraedros es el octaedro regular.

En el borde superior derecho aparece en planta y alzado los dos tetraedros entrelazados y a su derecha la planta y alzado de la intersección de ambos que es el octaedro regular, debajo tenemos dos perspectivas del octaedro. 

En el centro superior de la imagen observamos un cubo con varios colores, uno de ellos corresponde a una pirámide en amarillo. Si cortamos 4  trozos como ese del cubo podemos también obtener el  tetraedro,  en la imagen izquierda superior se observa el tetraedro  rojo  después de haber quitado esas 4  pirámides azules  al cubo.

126-  A la izquierda superior podemos observar el tetraedro con  el eje vertical  entre las aristas, al hacer la revolución del tetraedro en torno a él y  dejando registro de 7  tetraedros observamos la figura que aparece a su derecha en planta y alzado, mientras que la intersección de estos 7 tetraedros aparece en diédrico en el borde superior derecho de la imagen.

 En la parte inferior de la imagen podemos observar las perspectivas de ambas figuras.

127- En la imagen 1 podemos observar 3 tetraedros  en sistema diédrico que giran en torno al eje vertical, en la 2 podemos observar la intersección de esos 3 tetraedros, es una figura llamada  deltoedro qué está formada por deltoides.  Esa misma figura se gira 90 grados y aparece en la figura 3.  Al superponer la 2 y la 3 obtenemos la figura 4 en planta y alzado, la intersección de esos dos deltoedros es la figura 5 en planta y alzado.

En las dos franjas inferiores podemos ver las perspectivas de esos cinco elementos y a la derecha el tetraedro original con su eje de giro.

128- En la parte superior izquierda podemos observar en sistema diédrico 3 tetraedros entrelazados en ángulos iguales, a su derecha obtenemos la intersección que es una dipirámide, el borde superior derecho observamos ambas figuras superpuestas con estructura alámbrica.

 En la imagen inferior a la izquierda observamos perspectivas distintas de los tetraedros entrelazados y de la intersección de ambos a la derecha.

129- En el borde superior izquierdo observamos un tetraedro con un eje qué pasa por el vértice y el centro de una cara opuesta,  para hacer un giro de la figura obtenemos un nuevo tetraedro.  la representación de los dos tetraedros está a la derecha de la figura anterior, observamos en planta y alzado el tetraedro amarillo y el tetraedro rojo. a su derecha observamos la intersección de ambas figuras, una pirámide girada en sistema diédrico.

 se vuelve a tomar la figura del principio de los dos tetraedros y se colocan de manera que observamos en planta un polígono hexagonal estrellado, de esta forma el dibujo es más inteligible.  en alzado podemos ver las dos poliedros entrelazados déjame ver una pequeña porción del poliedro rojo ya que la parte trasera coincide con la parte anterior del amarillo.

 A la derecha aparece nuevamente la planta y alzado de la pirámide pero  con la base en una posición horizontal.

130-   En el borde superior izquierdo de la imagen observamos un prisma hexagonal regular recto que es atravesado por un eje  que lo atraviesa de una arista a otra opuesta.

 Al hacer un giro respecto a ese eje y dejando registro de 5 figuras obtenemos la planta y alzado de la figura 1, la intersección de los 5 prismas es el deltoedro que aparece en el número 2.

 En el número tres y cuatro tenemos nuevas perspectivas de los cinco prismas entrelazados mientras que en el 5 y 6 tenemos dos perspectivas distintas del deltoedro.

131-  Podemos ver el mismo ejercicio que el anterior partiendo del prisma hexagonal pero ahora con 3 prismas, su registro genera la composición de las tres figuras que aparecen en el número uno,   tenemos en el número 2 la intersección de los 3 prismas.

Esta figura número 2  es un prisma oblicuo, un caso particular del deltoedro de la figura anterior en la que los deltoides se convierten en rombos. 

En el número 5 y 6 podemos observar la composición de los tres prismas mientras que en el 3 y 4 distintas perspectivas del deltaedro o si preferimos prisma oblicuo.

132-  Podemos observar el mismo procedimiento que en la imagen anterior, un eje atraviesa   el prisma de base pentagonal regular  de forma oblicua pero ahora entre un vértice y una arista,  al hacer un giro de esa figura en torno al eje y dejar registro de 8 prismas en una matriz de ángulos iguales con el giro incorporado de las figuras, obtenemos la planta y alzado de esa composición de prismas, definido por los números 8 y 1.

En el número 2 observamos la intersección de los 8 prismas  en planta y alzado que es una dipirámide.

 En la parte inferior en los números 6 y 7 observamos las perspectivas de los 8 prismas mientras que en el 3, 5 y 4 observamos la perspectiva axonométrica de la pirámide.

133-  En este caso observamos que el eje de giro está sobre una cara del prisma  recto pentagonal regular,  al hacer un giro de la figura en torno al eje y dejando el registro de 8 figuras  observamos en planta y alzado la unión U o composición de esas figuras mientras que en la parte inferior de la imagen observamos dos perspectivas de la misma.

 En esta imagen no se ha mostrado la intersección ya que esas figuras no tienen un cuerpo común de intersección.

134- En la parte superior izquierda observamos un prisma pentagonal regular atravesado por un eje de giro que deja registro de 7 prismas, la composición de los mismos está en la figura 1 en planta y alzado, mientras que en el número 2 tenemos la intersección de los 7 prismas que es un deltoedro.

 En el número 3 y 4 observamos las perspectivas axonométricas de esta figura mientras que en la 5 y 6 observamos la composición de los siete prismas.

135-  Podemos observar el mismo ejercicio que el de la figura anterior pero ahora con 6 prismas, la composición de los mismos está en la figura 1 mientras que la intersección está en el número 2. Son dos pirámides unidas por la base, una figura llamada dipirámide.

 En el número 4 y 3 observamos perspectivas de la pirámide mientras que en el 5 y 6  la composición de los seis prismas.

136-  Podemos observar el mismo ejercicio que los dos anteriores pero con 3 prismas, la composición de los mismos está en el centro de la imagen mientras que a la derecha en la parte superior observamos una figura parecida a un cubo, realmente es un deltoedro pero como los deltoides tienen prácticamente las aristas iguales pues son casi rombos, en consecuencia se puede decir que es prácticamente un prisma oblicuo.

137-  Ejercicio homólogo a los anteriores pero con 5 prismas, en el número 1 observamos la composición de los mismos mientras que en el 2 observamos el  deltoedro producto de la  intersección de los anteriores.

 En el número 3 y 4 observamos también las mismas figuras, a la izquierda la composición de figuras y a la derecha el deltoedro, lo único que ha variado es la posición de las figuras, bajo esta posición tenemos una simetría radial de los elementos en planta.

En el número 6 observamos el deltaedro en 2 perspectivas axonométricas  mientras que en el número 5 y 7 obtenemos las perspectivas axonométricas de la composición de los cinco prismas.

138-  Aunque la figura y procedimiento es el mismo que en los casos anteriores el producto es muy diferente. Efectivamente tenemos un prisma de base pentagonal, regular y recto, de  caras laterales cuadradas.  Al hacer giro de esa figura en torno al eje y dejar registro de 4 prismas tenemos la figura 1 en planta y alzado, una composición de los 4 prismas cuya intersección aparece en la figura 2. Como podemos observar en la perspectiva 4 es una figura inusual ya que es prácticamente un octaedro regular pero en las aristas superiores intersección de las caras aparece una nueva cara de pequeña área, esa figura es un deltoide, eso quiere decir que en la parte superior tiene 4 caras triangulares y 4 deltoides mientras que en la cara inferior tiene 4 caras.

 A veces este tipo de figuras tienen otras caras que se confunden en una sola debido a que tienen un tamaño menor.

139- En el borde superior izquierdo observamos un prisma de base pentagonal regular con un eje de revolución que va de vértice a arista opuesta.

Al hacer el giro de la figura respecto al eje y dejar registro de 2 figuras en ángulo de 180 grados observamos en planta y alzado a su derecha el prisma amarillo y verde y más a su derecha la intersección de ambos prismas.

Como podemos ver en las imágenes inferiores observamos la composición de los dos prismas y la intersección de los mismos.

140-  Podemos observar en el borde superior izquierdo otra vez el prisma de base pentagonal regular y de caras laterales cuadradas. Al hacer un giro de la figura alrededor del eje y dejar registro de los tres prismas a 120 grados observamos en planta y alzado a su derecha la composición de los tres prismas en rojo, amarillo y azul.

A su derecha observamos la intersección de los mismos, parece un prisma oblicuo con las caras que son rombos.  Recordamos que esta es la posición límite de una cara en forma  de un deltoide que se transforma en romboide y que también se transforma  en rombo.

141-  Observamos en el centro izquierdo de la imagen una pirámide pentagonal cuyo eje de revolución la atraviesa desde la mitad de una arista hasta la mitad de otra arista que se cruza con la anterior.

Al hacer un giro de esta pirámide y hacer registro de 6 pirámides obtenemos en planta, alzado y perfil la figura que se ve en el borde superior izquierdo,  mientras que a la derecha tenemos las tres intersecciones de esas proyecciones.

Más abajo podemos observar la composición de las pirámides y de la figura intersección de las mismas, como podemos observar es una figura formada por deltoides y triángulos, una figura muy usual después de la intersección de distintas figuras giradas.

142-  En el borde superior izquierdo de la imagen vemos una elipse atravesada por una recta secante, esa elipse es la proyección de un elipsoide de revolución que aparece en color azul inmediatamente debajo, con la recta que lo atraviesa por un plano meridiano.

 Al hacer el giro del elipsoide respecto al eje y dejar el registro de 3 elipsoides obtenemos en planta y alzado la figura central de la imagen, a su derecha podemos observar las intersecciones.

Podemos hacer una analogía con los deltoedros pero imaginándolos con líneas curvas, de manera que entre los deltoedros aparecen formas poligonales, como análogamente sucedía al hacer un giro de un octaedro regular. 

 A la izquierda en el borde inferior observamos la composición de los elipsoides en perspectiva mientras que a su derecha observamos tres perspectivas de la intersección de los mismos.

143- Podemos observar en el borde superior izquierdo un cilindro en planta y alzado atravesado por una recta frontal que corta a las dos bases en puntos diametralmente opuestos, esa recta es el eje de giro que deja registro de seis cilindros y cuyas proyecciones en planta y alzado vemos en el centro de la  imagen, a su derecha observamos la intersección de esos cilindros, cómo podemos observar es como dos conos unidos por una esfera tangente a los mismos, dejando las huellas de los distintos cilindros a lo largo de la circunferencia  ortogonal al eje de revolución y ecuatorial de la esfera

 En la parte inferior observamos dos proyecciones de la composición de cilindros y de la intersección de los mismos mientras que a la derecha observamos un alzado de la intersección de los 6 cilindros.

144-  En el borde superior izquierdo de la imagen observamos un eje que atraviesa a un cilindro cortándolo en sus bases a un cuarto de los diámetros, ese eje de revolución deja registro de tres cilindros provocando una composición de figuras que aparecen en el centro de la imagen, a su derecha observamos la intersección de los mismos mientras que en la parte inferior observamos dos vistas en planta de la composición de las figuras a la derecha y la intersección de las figuras a la izquierda.

145- En la figura observamos un cilindro elíptico cuyo eje atraviesa la sección meridiana correspondiente a los ejes mayores de las elipses.

 Al hacer el giro y registro de tres cilindros observamos en la intersección el deltoedro de la imagen central. A su izquierda observamos los tres cilindros  que forman una figura compuesta, mientras que en la parte inferior observamos la perspectiva de ambas figuras en axonometría.

146-Podemos observar otra vez el mismo cilindro con el eje  en la misma posición que la figura anterior, el giro del cilindro elíptico en torno al eje provoca  una figura compuesta de 5 cilindros que aparece en el centro de la imagen, a su derecha observamos la intersección de esos cilindros, cómo podemos observar es con aproximación un deltoedro al que se le han añadido unas caras que son romboides en la franja central.  Hay que decir que tanto los deltoides como los romboides tienen sus lados con ligera curvatura.

 Como siempre en la parte inferior podemos observar perspectivas de las dos figuras, la composición de cilindros y la intersección de los mismos.

147- Otra vez observamos el cilindro con su eje meridional que al girar y dejar registro de 7 cilindros en torno a ese eje provoca la figura en planta y alzado que observamos a la izquierda,  a su derecha observamos la intersección de los 7 cilindros, podemos comprobar que es un deltoedro y siguiendo la línea del ejercicio anterior es probable que los deltoides tengan lados con ligera curvatura. En la parte inferior entre ambas figuras podemos observar una perspectiva del deltoedro y a la derecha tres perspectivas, una del deltoedro y las otras dos de la composición de los 7 cilindros.

148- Podemos observar al igual que en los tres ejes ejercicios anteriores el cilindro que es atravesado por un eje en diagonal de manera que pasa por el plano meridiano de los ejes mayores de las elipses correspondientes a las bases, a diferencia de los ejercicios anteriores en este caso tenemos que el cilindro tiene una altura mayor, por lo que como podemos observar en el centro de la imagen la unión o composición de esos cilindros provoca una figura más gruesa y compacta y la intersección de los mismos observamos a su derecha en planta y alzado una especie de deltoedro deformado donde se aprecia con más nitidez las aristas curvas de los cuadriláteros, algunas caras son realmente paralelogramos, en todo caso es una figura próxima al deltoedro pero con las deformaciones correspondientes a las figuras cilíndricas que las provocan.

149- En la figura de la izquierda podemos observar un cono circular recto cuyo eje de revolución aparece en color verde, es una línea que va desde el centro de la base hasta la mitad de una generatriz, al hacer el giro de este cono alrededor del eje y dejar registro de 5 conos observamos la figura en planta y alzado que aparece a su derecha, más a la derecha aparece la intersección de los cinco conos.

La superposición de las numerosas caras en la base nos está haciendo referencia a las coincidencias en las bases de los conos con el entresijo de intersecciones que se generan mientras que en la parte superior la interferencia de las superficies cónicas aproxima a una única superficie cónica que aparece en los cinco colores correspondientes a los cinco conos.

150-  En el borde superior izquierdo de la figura observamos un cubo en cuyo plano meridiano que pasa por la diagonal principal, existe un eje de revolución que corta las bases a un cuarto de sus diagonales, al hacer el giro de este cubo hasta provocar la unión de tres cubos a 120 grados observamos en planta y alzado esa figura compuesta por los tres cubos, mientras que en el número 2 observamos la intersección de los tres cubos en planta y alzado, en la figura 3 cogemos ese mismo cuerpo y lo representamos en las tres vistas planta, alzado y perfil, como podemos observar es una figura bastante compleja y difícil de comprender ya que aparecen numerosos planos oblicuos sin embargo contiene muchas caras iguales y eso facilita un poco la comprensión de la figura.

 En el número 5 y 4 observamos dos perspectivas de esta figura de intersección mientras que en el 6 y 7 observamos el poliedro compuesto por los tres cubos.

151- En el borde superior izquierdo observamos un prisma con forma de cuña atravesado por un eje que pasa desde un vértice a la base del triángulo rectángulo opuesto, al hacer  el giro del prisma en torno a este eje y dejar el registro de 3 prismas a ángulos iguales observamos en el centro de la figura en planta y alzado la composición de los tres prismas mientras que a su derecha observamos otra vez una figura parecida a un deltoedro pero con las caras que en vez de ser deltoides son trapezoides, es todavía una figura más compleja que el deltoedro ya que construir una figura con las caras superiores iguales y las caras inferiores iguales siendo trapezoides es más complicado que hacerlo con deltoides ya que todos son simétricas respecto a un eje de simetría longitudinal.

En el borde inferior de la figura aparecen dos perspectivas de los deltoedros deformados y del poliedro compuesto de 3 prismas.

152- En la figura 152 podemos observar otra vez el cubo con la sección meridiana por la diagonal principal y la recta que es el eje de giro, como podemos observar pasa a un cuarto de diagonales opuestas.

Al hacer el giro del cubo y dejar registro de 5 cubos podemos observar a su derecha en planta y alzado las cinco figuras que forman ese poliedro compuesto, a su derecha observamos la intersección,  es un poliedro nuevo bastante curioso ya que la parte superior e inferior según vemos en el alzado son fragmentos de  deltoedros,  mientras que por la franja central y ecuatorial son trapezoides en zig-zag que suben y bajan en sus aristas cercanas a los paralelos de una imaginaria esfera próxima al poliedro.

 A la derecha podemos observar dos perspectivas del poliedro compuesto y otras dos perspectivas de la intersección de los 5 cubos.

153- Podemos observar prácticamente el mismo ejercicio que el del número 151 pero en vez de ser 3 prismas son 5.  Como vemos es un prisma en forma de cuña con un eje que pasa por un vértice y la base de un triángulo rectángulo opuesto.

 Al hacer el giro del prisma en torno a este eje dejamos registro de 5 prismas que aparecen a la derecha de esa figura.

A su derecha observamos el deltoedro deformado, como podemos observar sus caras en vez de ser deltoides parecen trapecios o trapezoides. Al igual que en el ejemplo 151, la figura se aproxima a un deltoedro pero con las caras deformadas. A la derecha y en la parte inferior de la figura vemos distintas perspectivas del poliedro compuesto y de la intersección de los 5 prismas.

154- En la figura del borde superior izquierdo podemos observar una pirámide con un eje que pasa por el vértice y por un cuarto de la diagonal de la base, al hacer el giro de la pirámide en torno a este eje y dejar registro de cinco pirámides observamos en planta y alzado la figura del número 1. 

En el número 2 observamos la intersección, es una figura que aparece en numerosas ocasiones en la intersección de muchas figuras, la parte de abajo de la figura es un fragmento de  deltoedro mientras que la parte superior es una pirámide cuyas caras no tienen una orientación equitativa respecto al eje de revolución del cono  circunscrito imaginario.

 En el número 3 observamos la planta y alzado del poliedro compuesto y distintas perspectivas en el ocho y nueve mientras que en el 5, 6 y 7 observamos perspectivas axonométricas de la intersección de las pirámides.

155- Podemos observar en este ejercicio que prácticamente nos sale una figura semejante a la del ejercicio anterior pese a que ahora el eje de revolución respecto a la pirámide, tal y como vemos en el número 3, es por el punto medio de la arista y un vértice de la base de la figura.

 Al hacer el giro de esa pirámide y dejar registro en el mismo de cinco pirámides observamos la composición de las mismas en el número uno en sistema diédrico, mientras que en el número 2 observamos la intersección de esos prismas, el número 5, 6 y 7 es para mostrar distintas perspectivas del poliedro compuesto mientras que los demás nos muestran las perspectivas axonométricas del poliedro objeto de la intersección de las pirámides.

156- Tenemos ahora un nuevo caso, la pirámide es atravesada por una línea que pasa por dos aristas opuestas por sus puntos centrales, a la izquierda se observa la composición, mientras que en la parte central superior de la figura observamos la intersección de esas cinco pirámides, como podemos observar es una cuasi dipirámide que tiene sus caras agrupadas formando un pentágono deformado.

En la parte inferior de la figura podemos observar ya varias perspectivas de ambas figuras, el  poliedro compuesto y la intersección de las pirámides.

157- En la parte superior izquierda observamos un prisma hexagonal regular con un eje que lo atraviesa entre aristas opuestas, al hacer el giro de la figura y dejar registro de 3 prismas obtenemos en planta y alzado la figura  central, a su derecha observamos la intersección de esos tres prismas

Como podemos observar en principio parece un deltoedro que se aproxima a un prisma oblicuo de manera que sus caras podrían ser rombos, romboides  o deltoides

En el borde inferior izquierdo podemos observar ese mismo prisma oblicuo con las tres proyecciones en sistema diédrico.

158- Tomando otra vez el mismo prisma de la figura anterior con la misma posición del eje de revolución, dejamos ahora registro de 5 prismas, ese poliedro compuesto aparece en el centro superior  de la figura mientras que a la derecha aparece el deltoedro en planta y alzado, en esta en este caso sí que se observan las caras que realmente son deltoides.

En la parte inferior de la imagen observamos varias perspectivas de ambas figuras, el poliedro compuesto y el deltoedro.

159- Podemos observar otra vez el prisma de base ahora pentagonal  regular y de mayor altura, como podemos observar al hacer el giro de la figura respecto al eje que pasa por una arista  en el punto medio de la base del pentágono y el vértice opuesto de la cara superior,  obtenemos la composición de los tres prismas que aparecen en el centro de la imagen, a su derecha podemos observar la intersección de los 3 prismas, en este caso la figura obtenida es más compleja ya que consta de varios polígonos irregulares que se aleja mucho de lo que veníamos obteniendo usualmente, que era el deltaedro.

160- Podemos observar otra vez la misma figura  del ejercicio anterior como base para hacer el giro,  al dejar registro de 7 prismas obtenemos la configuración central mientras que a su derecha obtenemos la planta y alzado de la intersección de esos 7 prismas.

 Como podemos observar es una figura formada por tres tipos de polígonos, en la parte inferior podemos observar varias perspectivas del poliedro compuesto y de la intersección de los prismas.

161- En el borde superior derecho aparece en estructura alámbrica un prisma de base triangular equilátera, observamos el eje que corta la figura en una diagonal de vértice a punto medio de una arista opuesta, al hacer el giro del prisma y dejar registro de 3 prismas obtenemos el poliedro compuesto que está a su derecha, y más a la derecha obtenemos la intersección de los 3 prismas, como podemos observar es una figura formada por 6 triángulos en su parte superior y tres deltoides en la parte inferior.

 A la derecha de la imagen podemos observar varias perspectivas del poliedro compuesto y la intersección de los prismas.

162- Podemos observar en este ejercicio el mismo caso que el anterior pero en vez de utilizar 3  prismas hemos utilizado 4, en planta y alzado tenemos el poliedro compuesto, en la planta observamos que el contorno es como una cruz, mientras que la derecha obtenemos una figura formada por deltoides y triángulos, 4 deltoides en la parte inferior y 8 triángulos en la parte superior, a la derecha podemos observar perspectivas de las figuras.

163- Podemos observar ahora el mismo ejercicio que el anterior pero en vez de 4 hemos utilizado 5 prismas, podemos observar también la afinidad en el resultado intersección de los prismas, una figura análoga a la anterior constituida por triángulos y deltoides, pero por supuesto con más caras por ser más prismas los que intervienen en la operación.

164- Un ejercicio afín a los anteriores pero en este caso utilizamos un prisma de base cuadrada, tomando como eje de revolución la diagonal principal del prisma.

Podemos observar a su derecha el caso de 5 prismas que genera un poliedro compuesto y la intersección más a su derecha, una figura formada por triángulos escalenos, mientras que a la derecha del todo de la imagen observamos el caso de 6 prismas, como hay coincidencia entre caras según vemos en el alzado en vez de salir una figura con triángulos escalenos sale una figura formada por dos pirámides, lo que se llama una dipirámide, vemos por tanto que los triángulos que salen son isósceles.

En el borde inferior podemos ver varias perspectivas de las 4 figuras distintas, los dos poliedros compuestos y la intersección de los mismos.

165- En el borde superior izquierdo podemos ver un cubo atravesado por un eje que pasa por los puntos medios de dos aristas opuestas, al girar la figura respecto a ese eje y dejando registro de 3 cubos obtenemos la figura que se ve a su derecha en planta alzado y perfil, es el número 1, mientras que en el número 2 observamos la intersección de esos tres prismas también en las tres vistas en diédrico, en la figura número 3 observamos las dos figuras en modelo alámbrico, por un lado el poliedro compuesto y por otro lado el resultado de hacer la intersección de los tres cubos.

En el número 4 observamos exactamente el mismo ejercicio pero ahora el eje en vez de ser una línea horizontal como pasaba en el ejercicio 1 ahora es una línea vertical, en consecuencia observamos en el número 5 la misma figura que teníamos en el número 2 pero con una visualización más intuitiva e inteligible, a su derecha en el número 6 observamos los tres cubos en modelo alámbrico mientras que la intersección de los tres cubos aparece con las caras planas a color para una mejor comprensión de la figura en diédrico.

 De los números 8 al 12 podemos observar distintas perspectivas del poliedro compuesto y de la intersección de los tres cubos.

166- Podemos observar en el borde superior izquierdo  en el número uno la posición de un dodecaedro e icosaedro ambos coincidentes en sus centros y definidos por sus proyecciones en planta y alzado,  es lo que se llama un poliedro compuesto.

A su derecha  en el número 2 observamos la intersección de ambos poliedros, es un poliedro arquimediano que se llama icosidodecaedro.

En el número 3 observamos ambos poliedros superpuestos que generan el poliedro compuesto del icosaedro y dodecaedro, podemos observar también las líneas ocultas de ambas figuras, mientras que en el cuatro tenemos ya la intersección de ambos poliedros regulares, una axonometría del icosidodecaedro.

 En el número 5 observamos el icosaedro regular, poliedro que tiene 20 caras triangulares equiláteras, mientras que a su izquierda en el número seis observamos el dodecaedro constituido por 12 caras que son pentágonos regulares.

167-  Podemos observar en el número uno la figura en planta y alzado que se obtiene al girar el cubo de la figura 3 tomando como eje el que marca la figura, una línea que une puntos medios de aristas opuestas del cubo.

Como podemos observar en el número uno aparecen los 5 cubos de manera que  el eje está en posición vertical, al hacer la intersección de los 5 cubos obtenemos la figura número 2 que está constituida por  deltoedros y hexágonos irregulares en su franja ecuatorial, en la figura 4 podemos observar el poliedro compuesto y la intersección de los cubos, el primero en modelo alámbrico y el segundo en modelo sombreado a color, si bien en la planta queda perfectamente definido por donde se determinan los deltoides en el alzado; como resulta complejo determinar la posición de los deltoides se ha dibujado en la figura 5 las líneas que coinciden con las aristas del poliedro compuesto.

 De la figura 6 a las 8 tenemos varias perspectivas del poliedro compuesto y la intersección de los 5 cubos.

168- En la figura podemos observar a la izquierda un prisma en forma de cuña con la posición de un eje de revolución sobre el que se deja registro de dos prismas, como siempre a su derecha, el poliedro compuesto de dos prismas en planta y alzado y más a la derecha tenemos la intersección de ambos prismas, en la parte inferior podemos observar distintas perspectivas, pese a lo simple del ejercicio la figura es irregular y de difícil comprensión.

169-  El mismo ejercicio anterior pero realizado con 3 prismas en forma de cuña, podemos observar en el centro superior de la figura los tres prismas y a su derecha la intersección de los mismos, en la parte inferior podemos observar varias perspectivas de las distintas figuras, tanto de los tres prismas en poliedro compuesto como de la intersección de los mismos.

170- Podemos observar ahora otro prisma en forma de cuña y la posición del eje, entre un vértice y arista opuesta, según vemos en el número 3, al hacer un giro de la figura y dejando registro de 4 prismas observamos el poliedro compuesto de la figura 1, mientras que la intersección de los cuatro prismas es la figura en planta y alzado correspondiente al número 2, aunque la planta también queda designada por el número 10.

 En el número 4 y 5 observamos exactamente el mismo poliedro compuesto en el primer caso y la intersección en el número 5, lo único que varía es la posición de las  figuras.

 En los demás casos tenemos distintas perspectivas.

 Como podemos observar el poliedro resultante no está catalogado y está formado por trapezoides y triángulos, además de pentágonos.

171- Podemos observar en el borde superior izquierdo una cuña verde atravesada por un eje de vértice hasta la arista opuesta, al hacer el giro de la figura y dejar registro de 4 prismas obtenemos a su derecha la planta y alzado del poliedro compuesto, mientras que a la derecha de estas dos vistas obtenemos las intersecciones de esos cuatro prismas también en planta y alzado, podemos observar que es una figura afín a la del ejercicio anterior.

 En la parte inferior de la imagen podemos observar distintas perspectivas del poliedro compuesto y del producto de la intersección de los 4 prismas.

172- Podemos observar en el borde superior izquierdo otra vez el prisma en forma de cuña y el eje que lo atraviesa  de forma análoga a los ejercicios anteriores, al dejar registro de 5 prismas tenemos a su derecha la planta y alzado del poliedro compuesto mientras que en el borde superior derecho obtenemos la intersección de esos prismas.

 En la parte inferior de la imagen observamos distintas perspectivas del poliedro compuesto y de la intersección de los prismas.

173- Podemos observar en el borde superior izquierdo un deltoedro, podemos ver marcado en el la posición de un eje que lo atraviesa entre vértices opuestos, al hacer un giro de la figura y dejar registro de tres deltoedros observamos en planta y alzado el poliedro compuesto que sale en el número uno mientras que en el número 2 observamos la intersección de esos tres deltoedros.

174-  Observamos  a la derecha un deltoedro en planta y alzado, al considerar un eje vertical que lo atraviesa de vértice a vértice opuesto y hacer un giro de la figura dejando registro de cinco poliedros, obtenemos la figura de la parte izquierda de la imagen en planta y alzado, es un poliedro compuesto de 5 deltoedros mientras que en el centro de la figura obtenemos la intersección de esos deltoedros, podemos observar que es un nuevo deltoedro formado por muchas más caras que el deltoedro original.

175- En la figura 1 podemos ver dos pirámides unidas por la base, es lo que se llama una dipirámide, como las dos pirámides tienen base cuadrada, podemos girar por ejemplo la verde de manera que el centro de giro está en la base de la figura y sobre el eje e que pasa por los vértices, al hacer un giro a 45° obtenemos la configuración del número 2.

 Si ahora desplazamos por ejemplo la pirámide verde en la trayectoria del eje vertical hasta que coincidan sus aristas laterales con los puntos medios de la base de la pirámide roja  obtenemos la figura que aparece en el número 3.

 Inmediatamente debajo tenemos la figura central pero habiendo quitado la pequeña pirámide verde superior y la pequeña pirámide roja inferior.

 En el número 4 quitamos las pirámides laterales de la configuración anterior y podemos observar las dos pirámides pequeñas encima y debajo,  la figura del medio es la intersección de esos dos fragmentos que quedaban debajo del número 3.

Si cogemos esa figura de intersección y le unimos las dos pirámides pequeñas de color roja y verde obtenemos en su unión la figura número cinco que es en realidad un deltoedro y cuyas proyecciones en planta y alzado aparecen en el número 6.

176- Podemos observar el número uno un cubo como un eje de revolución que lo atraviesa entre aristas opuestas y pasando por los puntos medios de las mismas, conforme aparece en la figura 3, al hacer un giro de esa figura verde a 30º obtenemos el cubo amarillo, respetando también el cubo original tenemos una composición de ambos en el número uno.

En el número dos tenemos la intersección de ambos cubos, es una figura bastante compleja que aparece detallada en planta alzado y perfil en el número 4, de una forma más intuitiva y para una mejor comprensión aparece en el número 5 también en planta, alzado y perfil, como podemos ver es una figura formada por ocho trapezoides laterales y 4 triángulos isósceles en la parte inferior y superior.

 Del número 6 al número 9 podemos ver distintas perspectivas de esa figura de intersección y en el caso número 10 podemos observar una perspectiva de los dos cubos.

177- Podemos observar a la izquierda en la parte superior y con el número tres una pirámide con un eje de revolución que va desde un vértice a una arista opuesta, pasando por el punto medio, al hacer un giro de esta figura y dejar registro de cinco pirámides obtenemos en planta y alzado la figura que se ve en el número uno mientras que en el número 2 obtenemos la intersección de estas figuras, aunque tiene apariencia de ser dos pirámides, por la configuración del número uno todo apunta a que en realidad las caras laterales de esas supuestas pirámides no son triángulos isósceles sino que son escalenos con lo cual tendríamos caras laterales en triángulos irregulares de manera que la línea de ese  polígono regular que pasaría por el plano de las dos bases de esas pirámides no sería una forma plana sino que estaría en zig-zag. En el número 4, 5, 6 y 7 observamos distintas perspectivas de ambas figuras. 

178-  En la figura 1 se ve un cubo en el que tenemos los 6 centros de cada cara, son realmente los vértices de un octaedro regular. Como podemos observar los cuatro puntos rojos forman un cuadrado horizontal mientras que los dos azules y dos rojos forman otro vertical, podríamos obtener un último cuadrado vertical si mantenemos los dos puntos azules y los otros dos rojos. 

En el octaedro regular tenemos tres secciones de la figura que son cuadrados.

Si nos fijamos en la figura 2 el cuadrado contiene un rombo ortogonal a su plano de manera que el eje menor del rombo pasa por los centros de los lados del cuadrado mientras que el eje mayor del rombo tiene el tamaño de la arista del cubo.  A partir de este rombo que aparece en la figura 3 hacemos una extrusión con una medida cualquiera, por ejemplo 2 unidades, si el cubo tiene de arista 1 unidad, obtenemos en la extrusión la figura 4.

Si copiamos esa figura y la giramos 90º respecto a un eje vertical obtenemos las figuras que aparecen en el número 5, al superponerlas tal y como aparecen en el número 6 tenemos un poliedro compuesto por dos prismas de sección rómbica, la intersección de esos dos prismas genera el octaedro regular que aparece en el número 7.

En el número 8 a la izquierda se ven los dos prismas en planta y alzado mientras que a la derecha se ve la planta y alzado del octaedro regular, si hiciéramos el perfil del octaedro regular tendría la misma forma que la planta y alzado de la figura.

179- En la figura 1 vemos tres prismas  rectos de base octogonal regular  que siguen la dirección de los tres ejes cartesianos, en la figura 2 los hemos superpuesto y centrado, en la figura 3 mostramos las tres proyecciones en sistema diédrico de ese  poliedro compuesto de 3 prismas, en la figura 4 observamos la intersección de los 3 prismas, las tres vistas son iguales para el poliedro compuesto y sus intersecciones también.

Curiosamente en la figura 4 en planta aparece una vista con apariencia de octaedro truncado, figura que vemos en diédrico en el número 8, da la impresión de que en el 4, en la planta, está formado por un cuadrado y hexágonos regulares, al igual que el octaedro truncado, pero si bien el cuadrado es real  y está en verdadera forma, los hexágonos son irregulares, por otro lado podemos comprobar entre la figura 4 y 8 que el alzado y el perfil no coinciden.

En la figura 5 aparecen los 3 poliedros en estructura alámbrica y la obtención de las distintas caras, podemos observar en la parte superior la intersección de ese conjunto de líneas rojas y verdes que producen el cuadrado, sobre cada cara se daría el mismo caso, y luego serían tres líneas que une cada uno de esos cuadrados con ángulos iguales, sin olvidar que el poliedro nuevo que sale y que tiene por contorno en perspectiva axonométrica isométrica un hexágono regular, es lo común a los tres poliedros, una figura formada por hexágonos irregulares, 4 en la parte superior, cuatro en la parte inferior y otros 4 en la parte lateral con lo cual tenemos 12 hexágonos irregulares, mientras que cuadrados tenemos uno en la cara superior y otra en la inferior y 4 laterales, en total 6 cuadrados, la figura la podemos ver en una axonometría trimétrica en el número 6 y podemos contrastarla con el número 9 que es el octaedro truncado, poliedro arquimediano formado a partir del octaedro regular y al que se le cortan las esquinas.

 En el número 7 aparecen las vistas de los prismas en modelo alámbrico mientras que en la intersección aparece el poliedro con un modo sombreado a color.

 

180- Podemos observar en el número 1 tres prismas rectos de base hexagonal regular, en la figura número 2 componemos un poliedro con los tres prismas anteriores  centrados, en el número 3 observamos la intersección de los 3 prismas, al igual que en el número 4 y 5 pero en otras posiciones.

 Podemos observar en el número 6 las tres proyecciones en sistema diédrico de los tres prismas entrelazados y en el número 7 las tres vistas del poliedro objeto de intersección de los anteriores.

 En el número 8 de forma más clara se pueden ver los tres prismas en planta, alzado y perfil en modo alámbrico, mientras que en el centro de las vistas se ve el poliedro resultado de la intersección.

 181- En la imagen número 1 observamos dos pirámides que forman un poliedro compuesto, según observamos en el perfil los dos vértices  opuestos están alineados en una vertical, en el número 2 observamos la intersección de ambas pirámides, es una figura formada por 6 pentágonos irregulares y dos bases triangulares equiláteras, es el famoso poliedro de Durero, llamado romboedro truncado por tener caras laterales en rombos truncados, caso límite de deltoedro.

En el número 3 observamos tanto la intersección de las dos pirámides como las dos pirámides en un mismo dibujo.

En el número cuatro, cinco y seis observamos distintas perspectivas axonométricas isométricas del poliedro compuesto y de su intersección.

182- Podemos observar a la izquierda de la imagen dos tetraedros superpuestos en color rojo y verde, ambos están centrados de manera que el centro del poliedro compuesto es el punto central de una simetría central.  

Al calcular la intersección de ambos tetraedros regulares obtenemos el romboedro, figura que aparece en la parte izquierda de la imagen.

Podemos observar ese mismo poliedro en varias partes del dibujo en sistema diédrico, en la parte inferior izquierda vemos que uno de los rombos  está apoyado en el plano horizontal, hay que decir que estos rombos son formas geométricas constituidas por 2 triángulos equiláteros unidos.

En la parte superior derecha del dibujo observamos un tetraedro regular con sus proyecciones en planta, alzado y perfil, a su izquierda observamos los dos tetraedros con las líneas discontinuas que nos muestran la posición de los detalles que no se ven de las figuras y por último más a la izquierda podemos observar el romboedro de manera que dos vértices opuestos están alineados sobre una recta vertical.

 En el borde inferior izquierdo volvemos a ver el romboedro apoyado en una cara y a su derecha el desarrollo de la figura con  los seis rombos.

Al igual que en el ejercicio anterior tenemos que la intersección de dos pirámides nos genera un romboedro,  en el caso anterior la pirámide estaba desplazada por el eje sobre la otra de ahí que el romboedro apareciera truncado,  en este caso los ejes verticales de los tetraedros regulares son coincidentes por lo que la intersección de ambas figuras no es un romboedro truncado.

183-  Tenemos un cubo al que se le han cortado esquinas opuestas provocando una figura parecida al romboedro.  Refiere Strauss que la imagen que dibuja Durero en un grabado sobre la melancolía es un cubo truncado tal y como aparece en la figura de la derecha en planta alzado y perfil,  el cubo está con la diagonal  principal vertical. 

Podemos observar en el grabado que los ángulos del romboedro no coinciden en la perspectiva con los ángulos del cubo truncado.  En todo caso, como es una perspectiva cónica y  seguramente no se habrán seguido los principios de la geometría descriptiva no podemos hacer una restitución para poder obtener los ángulos reales.

184- En la figura 3 observamos una pirámide con  un eje vertical, al hacer un giro de la misma respecto al eje y dejar registro de cinco pirámides obtenemos la figura del número 1 que aparece en las tres vistas en diédrico, al calcular la intersección obtenemos esa especie de pirámide con  cierta asimetría,  tal y como se puede ver en el número 2.

En el número 3 observamos la composición de los prismas del número 1 pero en modelo alámbrico, mientras que tenemos las intersecciones correspondientes al número 2 y superpuestas  en modelo sólido para ver la referencia de las líneas respecto al número 1.

En la figura 7 vemos un tetraedro regular inscrito en un dodecaedro regular, para inscribirlo se inscribió primero en un cubo, como sabemos un cubo es fácil de inscribir en un dodecaedro de manera que cada cara forma parte de los vértices de dos caras adyacentes.

Una vez que tenemos inscrito el tetraedro regular cogemos un eje que atraviese a todo el dodecaedro, como el de la figura 7 con la letra e, y hacemos un giro del tetraedro dejando registro de 5 tetraedros de manera que los cinco se apoyan en los vértices correspondientes del dodecaedro, de esta manera como los tetraedros regulares tienen 4 vértices, si lo multiplicamos por 5 tetraedros tenemos los 20 vértices del dodecaedro, de esta manera obtenemos la figura número 5 formada por los 5 tetraedros regulares que han girado en torno al eje, en esta figura en planta y alzado se puede observar cómo los tetraedros tienen sus vértices sobre los vértices del dodecaedro. El dodecaedro es la figura que aparece en el número 4 en planta y alzado y en el número 8 en axonometría isométrica.

 En el número 3 vemos en planta y alzado los tetraedros conformando un poliedro compuesto, es lo mismo que aparece en la figura 5 pero sin que aparezca circunscrito el dodecaedro.

Si calculamos la intersección de estos 5 tetraedros regulares obtenemos el icosaedro regular, figura que aparece en el número 9 en axonometría isométrica y en el número 1 en planta y alzado, realmente esa es la escala real del icosaedro fruto de hacer la intersección de todos los tetraedros de la figura 3, poliedro compuesto de tetraedros en sistema diédrico.

En el número 2 aparece otra vez en planta y alzado el icosaedro regular pero con el eje que provocó la revolución de los tetraedros.

En el número 6 aparece una perspectiva axonométrica isométrica de los tetraedros entrelazados.

La razón de porqué la intersección de los tetraedros conforman un icosaedro es porque los 5 tetraedros se han girado igual ángulo respecto a los 360 grados de la circunferencia completa, todas las caras tienen esa misma regularidad y la única figura posible qué provoca un poliedro convexo irregular de 5 caras es el icosaedro, figura formada por antiprismas.